I- -:= a . y , y-= (i . ox

à la seconde circonfércMce, relalî- \ement à la première, une position lelle, que le rapport de ox' à or fût égal à celui de b h a, h désignant une seconde ligne donnée (qui' l'on peut supposer inférieure à «) , les équations précédentes se changeraient en celle-ci :

et a:=:o.r, j^=oy seraient les deux movennes ]iroportionnellcs cherchées enln; les lignes a et /'.

Or si l'on regarde comme fixe la circonférence ort , et cjne Ton fasse tourner la seconde autour de oa' de manière à l'amener dans un plan vertical ])crpendiculairc au plan horizontal de la circonférence ii\e. \x venant en Kr,, et ox eu ox, ; on

IIISTOBIQUE. 5

voit, en joignant jr,x',qiieccUc droite est perpendiculaire à o^'.

et que le rapport — = - étant donné ^ Tangle x^ox' ou x, oa

est donné. Par suile, dans l'espace, le point cherché x, appartient, à la surface d'un cône de rcuohilion ayant pour axe la droite oa. Mais ce point appartient aussi à la ligne à double courbure qui est la commune intersection du cylindre droit, ayant pour base la circonjérence ova, et du tore engendré par la circonférence OX] a' 5e moussant autour de la verticale du point o. Ainsi le point cherclié .r, est rinlersection dune ligne à double courbure et d'un cône-, et Tune des moyennes .proportionnelles cherchées, la droite oxi^ se trouve ainsi 'virtuellement déterminée.

2. Les Collections mathématiques de Pappus font aussi mention decjuelques lignes à double courbure connues des anciens, et dont ce géomètre découvrit certaines propriétés curieuses. La première est la spirale hémisphérique, représentée en coordonnées géographiques pai- réqualion

Pappus établit, à Taide des méthodes d'Archimède, que l'aire sphcrique comprise entre la spirale et la hase de V hémisphère est équivalente au carré construit sur le diamètre. C'est ce que Ton vérifie aisément par les méthodes modernes , en prenant, pour élément de Taire à évakier, la superficie comprise entre la spirale, deux méridiens consécutifs et l'équaleur, superficie assimilable à une portion de zone, et ayant, par suite, pour mesure

/-/-TzzzR'sin) .^/L = R=cos-î:L.r/L;

d'où , pour la surface entière.

J.a sciOJule des lignes ;i double courbure «Uiidiées p.ir P;lppu^

4 VlîEMILKl' PARTli:.

esl celle qui ré.sulU' de riiitersecliou (11111 liëlicoïde gauche à plan directeur et d'un cône de révolution ayant même axe que l'iiélicoïde. L'axe commun des deux surfaces étant supposé vertical, Pappus démontre que la projeclion horizonlalc de la courbe d' intersection esl une spirale d\4rcJiiniède , ce qui fournit une génération de cette dernière courbe par les lieux à la surjace. Depuis, M. Cliasles, développant cette proposition, a fait voir [yi perçu historique, Noie \III) que Ton peut obtenir toutes les spirales en projetant l'intersection de Fhélicoïde gauche et d'une seconde surface convenablement choisie, de révolution autour de l'axe de l'iiélitoïde, sur un plan perpendiculaire à cet axe ; et ce n'est pas là seulement la solutioîi d'un problème d'analyse déterminée, mais un mode précieux de tiansformalion, à l'aide duquel on peut constater des dépendances géométriques remaixjuables entre des courbes diverses.

3. I.es lignes à double; courbure dont nous venons de parler paraissent être les seules qui aient éié connues des anciens. Il faut néanmoins ajouter à cette nomenclature l'hélice tracée sur un cylindre de révolution, dont deux arcs quelcontjues peuvent se superposer partiellement, observation attribuée à Géniinfis; et les lignes résultant de l'intersection mutuelle de certaines surfaces que le géomètre Philon de Tyane nommait plectoides, et que M. Chasles croit avoir été des surfaces réglées [aperçu historique, cbap. I'", § aS).

4, La loxodroniie sphérique, c'est-à-dire la ligne coupant sous un angle constant les divers méridiens d'une sphère, est une des premières lignes à double courbure étudiées avec une certaine suite par les modernes. Cette étude, commencée par le géomèlie portugais Nonius, fut continuée par Hallev, Leibnitz, Hermann et IMurdoch, On doit à Hallev cette obscr vation intéressante que la projeclion stcréographique d'une loxodroniie est une spirale logarithnuque ^ ce qui résulte d'ailleurs du principe de la conservation des angles, dc'jà

ursTOuiQUE. s

connu do Plolt'nu'O. Nous veiious [Ans loin <|uc ces deux courbes, qui ont la même définition, Tune sur la sphère, Tautie sur le plan, présentent encore cette analogie que le centre <le courbure sphérique de la première s'obtient par une construction identique à celle qui, sur le plan, donne le centre de courbure de la spirale logarilhiniijue.

5, Roberval, dans son Traité des Indivisibles [Dii'ers Mémoires de iMatltématiqucs et de Physique, p. 2 1 3 ) , et Vi viani , dans le problème de la voûte cairable, trouvèrent des propriétés dilïereutesde la ligne qui résulte de rinterseclion d'une sphère et d'un cylindre de révolution, ayant un rayon de la sphère pour diamètre de sa base.

Si Ton regarde d'abord, avec Viviani, cette ligne comme Iracée sur la sphère, elle y a pouiéquation

et l'aire sphérique comprise entre l'un des quadrants de la courbe, le méridien tangent au cylindre et ^ «^ "'' réquateur, est mesurée /far le carré

du rayon de la sphère.

Si l'on regarde ensuite cette ligne comme tracée sur le cylindre, et que l'on veuille, avec Roberval, évaluer l'aire cylindrique conipxise entre l'un de ses quadrants et la base du cylindre, on voit que l'élément AA' q'q de celle aire a pour

mesure

A7,r/r/' = RsinA ( — • ar/L) = R'sin A.f/L = R- sinL.r/L ;

et l'on en conclut que l'aire cylindrique considérée , étant encore mesurée par le carré du rayon, est équivalente à V aire sphérique évaluée précédemment.

Enfin, suivant une remarque de Bossut, le volume compris entre les deux aires sphérique et cylindrique, le plan de la base et le plan du méridicfi langent au cylindre, a pouf niesuie les ^ du cube du rayon.

iNIontucla [IJi'sloire des Malhèuiatiques, tome III. page loi) ajoute au problème résolu par Roberval celte oLscrvalion que Vaire cylinrlrique comprise entre la base du cylindre et la sphère est encore exactement carrable dans le cas, plus général, oii la hase du cylindre est simplement tangente au grand cercle qui limite injérieureinent la sphère.

(3. Enfin, si nous citons encore la théorie des épicyeloides sphériques étudiées successivement par Hermann, Jean Bernoulli, jNicole et Clairaut {Mémoires de V Académie y x'jZ'i)-, l'équation des lignes géodésiques des surfaces de révolution, obtenue par Jacques Bernoulli et Clairaut [ActaLipsiœ, 1698, page 22'j, et Mémoires de l'Académie, 1733) ; la description des lignes résultant de la pénétration mutuelle d'une sphère, d'un cône ou d un cylindre, et leur construction à laide d'ordonnées menées par les différents points d un axe curviligne (Frezier, Traité de Stéréotomie ^ i jSa); nous aurons à peu près épuisé la nomenclature des recherches de détail, peu nombreuses comme on le voit, qui ont précédé l'élude systématique des lignes à double courbure : Elude commencée avec quelque généralité par Clairaut, mais qui , en réalité., doit exclusivement ses bases actuelles aux travaux de Monge, — qui découvrit tout ce qui se rapporte à la première courbure , aux développées , aux droites polaires, à la surface formée par l'ensemble de ces droites et à la sphère osculatrice ; — de Tinseau et de Lancret, auxquels on doit les importantes notions du plan osculateur et de la seconde courbure.