CHAPITRE PREMIER

PROPOSITIONS PRÉLIMIJVAIRE '

7. De deux cas particuliers daus lesquels il existe une relation simple entre la première courbure d\ine ligne et celle de sa projection orthogonale.

On sait que dans un triangle quelcon((uc le rayon du cercle

PROl'OSITIOAS l'RÉLIMINAIHES. n-

cirtonsnil est égal au |)rocluil des trois cotés divisé par le qua> <lruple de la surface du triangle. Il eu résulte, en désignant par R el R' les rayons des cercles circonscrits à un iriauglc ABC et à sa [trojection A'B'C, que l'on a

d'où

Cela posé', supposons, en premier lien, que les sommets A , B, C soient trois points infiniment voisins d'unô hélice cylindrique; A', B', C étant leurs projections sur le plan de la section droite du cylindre. Si 1 on désigne par a l'inclinaison constante des tangentes de 1 hélice sur les généiatric<'S correspondantes du cylindre, les rapports —■> -j-'> ~ auront pour

limite commuiu; sina. On voit aisément d'ailleurs (par la considération d'un cône droit auxiliaire dont les génératrices seraient parallèles aux tangentes de I hélice) ([ue le plan oscillateur de riiélice (limite du plan ABC) fait avec le plan de la

hase dn cylindre un angh; égal à - — a; et, par suite, que Ja

S' limite dn rapport — est encore sina. Ou a donc, en coinevanl

que les points B el C, !>' et C se rapprochent indétinimcnl des points A et A', et en passant à la limite,

(1) p'r= p.siii-'a,

pour la relation existant entre les rayons de couibure o el p' de l'hélice et de la section droite du cyliudie, en des points correspondants de ces lignes.

L'angle a étant constant, p el p' sont l'un et lautie couslanls, ou l'un et l'autre variables ; donc si /e rayon de première courbure d'une hélice cylindrique est constant^ cette hélice appartient a un cylindre de révolution.

Su])posons, en second lieu, que le plan de projection ait été

choisi parallèle à la tangente en A de la courbe ABC et taisant

un angle a avec le plan osculateur de cette courbe au même

S' point : cosa sera, dans ce cas, la limite du rapport ^, les rap-

jïoris —■> -T") - auront pour limite commune i unité: et J on

aura, entre les rayons de courbure en A et A' de la ligne ARC et de sa projection , la relation