II) P

cosa

Si l'angle a du plan de projection et du plan osculateur en A tend vers zéro, le rayon de courbure p' de la projection tend à devenir égal au rayon de coiîrbure p de la ligne projetée 5 et si

cet angle tend vers -•> le rayon de courbure p' de la projection

augmente indéfiniment. Donc si Von projette une courbe sur un plan mené suivant sa tangente en A, perpendiculairement au plan osculateur correspondant, la projection présente un point d'inflexion en A.

Obsen^ation. Les relations (I) et (II), que nous avons dtt établir directement, sont des conséquences immédiates des théorèmes d'Euler et de Meunier, appliqués à une surface cylindrique.

8. De la courbure géodésique d'une ligne tracée sur une surface : théorèmes. Une ligne AA' étant tracée sur une surface, si par deux de ses points infiniment voisins, A et A', on mène deux lignes géodésiques de la surface tangentes à cette ligne; leur angle, que nous désignerons par E^, est appelé angle de contingence géodésique de l'arc AA'5 et la limite du rapport de l'arc AA' à l'angle correspondant, quand l'arc AA' tend vers zéro, est le rayon de courbure géodésique au point A de la ligne considérée : nous le désignerons par R„.

Théorè:me I. Le rayon de courbure géodésique en un point quelconque d'une ligne tracée sur une suif ace, est égal au rayon de première courbure R, de cette ligne au t)iènw point.

PROPOSITIONS PRELIMIMAIKES. t)

divisé par le cosinus de V angle du plan osculateur de la ligne et du plan Langent à la surface en ce point :

" cos y.

Démonstration. Soient I le point d'iulersectiou des ligues F'6- 3. géodésiqiies tangentes en A, A' à la

coLiibe considérée; la, la' les tangentes à CCS lignes, faisant entre elles un angle aigu égal à E^, 5 et IN la normale à la surface au point I :

INjsera une normale principale commune aux deux lignes géodësiques lA , lA', et le plan tangent en I à la surface sera perpendiculaire au plan osculateur en I de chacune de ces lignes. Si l'on projette, sur le plan tangent en I, le triangle curviligne AA'I, la projection sera un triangle curviligne ««'1; et les tangentes

en a, a' au. côté aa', ou les tangentes aux mêmes points des

lignes al, al, feront, avec les tangentes en I des mêmes lignes, des angles mesurés par des infiniment petits du second ordre : puisque, d'après la fin du numéro précédent, les projections desligues IA,IA'sur le plan tangent enl présentent uneiuflexion en ce point. Il résulte de là que l'angle de contingence e, relatif à l'arc aa' de la px'ojectiou aa', peut êlre remplacé par

l'angle des tangentes en I des lignes la, la' ou par l'angle E„

des lignes lA , lA' elles-mêmes 5 et le rayon de courbure /i de