AA

la ligne (7a, égala — , ou a -— , est égal a K^, :

D'ailleurs la formule (II) du numéro précédent étant évidemment applicable à la ligne AA'ct à sa projection aa', on a

(OS a '

et la comparaison de ces deux fornuiles démontre le théorème énoncé.

lo 1'UEmii:re pauxie. — - ciiai-ithe im;i:.uiei; .

Théouème II. Le vayûii de courbure géodésiquc en un point quelconque A d'une ligne AA' tracée sur une su/face, est égal au rayon de courbure au point correspondant de la. ligne plane que V on obtient en circonscrii'ant à la proposée , suii'ant la ligne AA', une surface développable ^ et développant cette dernière sur un plan en nicnie temps que la, ligne AA quelle contient.

Nous renvoyons an chapitre VIII la démonstraliou de eelle proposition, rpie nous n'anrons pas à employer jusque-là.

Obseruation. L'importance de la considération du rapport

— — dans l'étude des lierues tracées sur xina surface, a été sicos a ^

gnaléc pour la première fois par M. O. Bonnet, dans son Mémoire sur la théorie générale des surfaces [Journal de V École Polytechnique, 3^^ cahier, 1848). Plus tard, et dans ses leçons au Collège de France , M. Liouville a donné à ce rapport une signification géomélricpie nouvelle , par l'inlroduction de la notion de l'angle de contingence géodér.ique.

y. Théorème relatif à la distribution des plans tangents à une surface gauche, le long d'ii/ie même génératrice de la surface.

Théorème. Un plan quelconque éteint mené p

mené jyar une

néralrice d'une surface gauche, la distance du point, suivant lequel ce plan est tangent ii la surface, au point central O de cette génératrice., est j>roportionnelle ii la tangente trigonométrique de rinclinaison de ce plan sur le plan tangent au pouit central (Chaslfs, Mémoire sur les surfaces gauches : Correspondance Mathéuinlique et Physique ., touieXI).

Dans cet énoncé, on appelle point central d'une génératrice OA, le point où la droite 00' qui mesure la plus courte distance entre les deux génératrices infiniment voisines OA , O'A', s'appuie sur la première; ou plutôt la position limite de ce point.

Démonstration. Soit OO' la plus comte distance cntie la génératrice fixe OA et uni" génératrice vaiiahle O'A', infiniment \oisin(' delà piemièic: le point O sera infiniment voisin

•aOPOSITlOJVS l'IlÉLIMlNAlRES. 1 I

du point cejilral. Désignons la plus courte distance OO' [)ai' ''S- H- îô : l'angle des deux aénératiices.

ou SOI) égal n'OA, par w- et posons

/ ^ limite de -•

Prenant un point déterminé A de la génératrice OA , situé à une distance R du point central, menons par ce point une droite AA', perpendiculaire à la géjiératrice OA , et rencontrant la génératrice infiniment voisine O'A'. (Il suffît, pour cela , de mener A a' perpendiculaire à OA dans le plan r/OA , d'élever a' A' égale et parallèle à 00' et de joindre A A'.) Les triangles rectangles A^'A', OAa' donnent les relations

lang AA' a', ou tang (AA', 00' ) -— = ,

ÂV=w.ÔA ; d'où, en nuiltipliant membre à mcmbie et réduisant,

tang (A A', 00') = -• OÂ.

Si l'on suppose maintenant (pu-la génératrice O'A'se rapproche indéfiniment de la génératrice fixe OA , le second membre aura pour limite Â.R. D'ailleurs, les cordes infiniment petites 00' et AxA' ont pour limites respectives des tangentes menées à la surface par le point central, dont le point O se rapproche indéfiniment, et par le point fixe A; et comme ces tangentes sont perpendiculaires à OA , et que leur angle mesure, par suite, l'inclinaison !p des plans tangents menés à la surface par le point cential et par le point A , on voit cpie le premier membre a pour limite tang^^, de sorte que l'on a

(IV) tang'^=/-.R;

et celte formule démontre le théorème énoncé.

Obseivation. cp et R peuvent èlre regardés comme positifs dans la formule précédente, (piand on l'applique à la délermi-

l J. rREMlKlilî l'AllTIE. CIlAl'lTUE DEUXIEME.

iialiou d un plan tangent unique. Mais si l'on veut lixer, sans ambiguïté, la position du plan tangent à la surface en un second point A' de la même génératrice, situé à une distance R du point central , on devra, dans la formule analogue

tangij)' = / . R',

regarder tp' et R' comme positifs, ou négatifs, suivant cpie le nouveau point de contact A' sera situé, par rapport au point central, du même côté que le point A, ou du côté opposé. Il résultera d'ailleurs de cette convention que l'on aura toujours, en désignant par di l'inclinaison mutuelle des plans tangents en A et A', <^ = ^ — ^'•> ^^^ P^i' suite, A.(R — R')

tangl; =

1+ /.^KR'

On voit que si R et R' sont de même signe, le dénominateur de la formule précédente sera toujours di lièrent de zéro, et l'angle ^^ différent d'un droit. Donc si les plans langents an deux points d'iiue uiéine génératrice d\ine surface gauche sont rectangulaires, le point central de cette génératrice est nécessairenietit compris entre leurs points de contact.