CHAPITRE IL
DES PUOPRIÉTÉS DESCRIPTIVES COMMUNES A TOUTES LES 1 IGJNES A DOUBLE COURBURE.
10. La tangente en un point d'une ligne à double courbure est, ainsi que la tangente d'une ligue plane, la limite des positions occupées par une sécante tournant autour de ce point, de manière qu'un second point d'intersection de la sécante et de la courbe se rapproche indéfiniment du premier.
11. Le plan osculateur en un point d'une ligne à double courbure est la limite des posilions occupées par un plan passant par ce point, et par deux auli'cs points de la courbe qui
PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES GÉNÉRALES. l3
se lapprocluiil indétîiiiment du premier. On peut encore le considérer, soit comme la limite des positions occupées par un plan passant par la tangente au point considéré, et par un point infiniment voisin du premier; soit comme la limite d'un plan variable passant par cette même tangente, et parallèle à une tangente Infiniment voisine de la première: et ces trois définilions sont ccjui va lentes.
Pour le démontrer, concevons un cylindre passant par la Fifi. 5. ligne donnée ahc ^ et dont les génératrices
soient parallèles à la tangente ^7f de celte ligne en n : ce (yliiulre est entièrement déterminé, ainsi cpie son plan tangeiii en a\ et nous allons voir cjue ce dernier représente, quelle que soit ceile des trois définitions que Ton adopte, le plan osculateur de la ligne abc au même point. En efiét,
Le plan mené, d'après la troisième définition , par la tangente at^ et parallèlement à une tangente infiniment voisine ht' ^ est parallèle au plan tangent au cylindre en /;, et a pour limite le plan tangent en a.
Le plan mené, d'après la seconde définition , parla tangente nt et par un point infiniment voisin Z>, renferme la génératrice du cylindre pour le point b , et une corde infiniment petite ba d'une ligne cba située tout entière sur le cylindre; il est donc infiniment voisin du plan tangent au cylindre en b^ et a même limite que ce dernier, à savoir le plan tangent en a. Enfin, et relativement à la première définition, si l'on considère un cylindre l'rt/vrt/Ve^ passant constamment par la ligne <?^c, et dont les génératrices soient parallèles à la droite variable <7c, on verra que le plan variable nbc^ contenant toujours une génératrice ca et passant en outre par ulic corde infiniment petite c^ d'une ligne située tout entière sur ce cylindre, est infiniment voisin du plan tangent à ce cylindre en c : la limite de ce plan variable sera donc encore le plan tangent en a au cylindre-limite, ou au cylindre défini ])récédemment.
l4 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE DEUXIEME.
Remarque 1. Il résulte, eu pai liculier, de celle dernière partie de la démonstration, que la position du plan-limite demeure la même quels que soient les modes de convergence des points b et c vers le point a.
Remarque II. La dislance au plan osculateur en un point a cViin second point b de la courbe infiniment voisin du premier, est un infiniment petit du troisième ordre. Cette distance est, en eifet, un des côtés de l'angle droit dun triangle rectangle ayant pour hypoténuse la distance du même point è à la tangente «f (dislance du second ordre) 5 l'angle opposé à ce côté étant infiniment petit , parce qu'il mesure l'inclinaison du plan variable tab sur le plan osculateur en a, qui en est la limite.
Remarque III. La plus courte distance entre deux tangentes infiniment voisines at et bt' d'une ligne à double courhure, est un infiniment petit du troisième ordre (Bouquet). La distance en question est, en effet, égale à la distance du point b au plan taO' mené par la tangente at parallèlement à la tangente bl' :^ et celte dernière, à son tour, est égale à la distance du même point ^ à la tangente <7f, quantité du second ordre, multipliée par le sinus de Tangle formé par le plan taO' avec le plan tab. Or cet angle est infiniment petit, ainsi que son sinus, puisque les plans variables laO' et tab ont la même limite, à savoir le plan osculateur en a. Donc, etc.
Remarque IF. La tangente en un point d'une ligne à double courbure est la limite de la droite d'intersection du plan osculateur en ce point, et du plan osculateur en un second point infiniment voisin du premier. Il suffit, pour le démontrer, d'imaginer un cône auxiliaire dont les génératrices soient parallèles aux tangentes de la ligne considérée : les plans tangents du cône sont, en effet, parallèles aux plans osculateurs de la ligne à double courbure : rintersection de deux plans osculateurs infiniment ^oisins est parallèle à rintersection des plans tangents correspondants, et celle-ri a pour limite une génératrice du cône; dojic, etr.
1^. On .ippelle angle de torsion d un arc quelconque ah
VROPUIÉTÉS DïïSCr.lPTnES GTKÉr.AirS. 1 f)
eruiu- ligne à double coiiiljiirc Tangle H des plans usculalcuîs menés à rorigine el à rexlrémité de cet arc; cl rayon de seconde courbure R2 de la ligne en nn de ses points, la limite vers laquelle tend le rapporl de Tare élémentaire de celte ligne à l'angle de torsion correspondant, lorsque l'origine de l'aie demeurant fixe eu ce point , sa longueur décroît indéfiniment.
Le rav)noi'l inverse — ; recevant le nom de seconde courbure i
îû ~ dS
Par chaque point d'une ligne à double courbure passent um infinité de normales à celle courbe, toutes situées dans lc/;/</// nornud : celle d'entre elles ([ui est située dans le plan osculateur correspondant reçoit le nom de normale principale; les normales principales relatives aux dilîérents points d'une ligne à double courbure engendrr.nt une surface gauche, la surface i^nuche des normales.
13. h'angle de conlingence E, la courbure iolale ou moyenne d'un arc fini (pielconque, la louibure et le rayon de courl)nre (ou encore la première couibure et le rayon de première courbure) eu un point déterminé, ont les mêmes définitions dans une ligne à double courbure et dans une ligne plaiu^ On doit ajouter cependant que le cercle de courbure, dont le
rayon R, est défini par léquation Rj =3 — - est, en (haquc
point, situé dans le [)laii osculaleur correspondant, tangent à la courbe en ce point, el situé du même côté ([uc celle-ci par rapporl à la tangenle.
44. hv cercle oscillateur en un point d'une ligne à double courbure est la limrie d'un cercle variable passant par ce point: el par deux autres points de la courbe infiniment voisins du' premier 5 on peut encore le considérer comme la limite d'un cercle variable tangent à la courbe au point considéré et pas-' saut par un second point de la courbe infiniment voisin div premier
l6 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE DEUXIÈME.
En chaque point dune ligne à double courbure^ le cercle osculateur et le cercle de courbure coïncident ^ et le centre commun de ces cercles est situé sur la droite polaire relatwe à ce point ; celte dernière n'étant autre chose que la limite de lintcrsection du plan normal au point considéré et d'un plan normal infiniment voisin. Il suffira d'ailleurs, pour la démonstration, d'établir que le rayon du cercle osculateur est égal à
celui -^ du cercle de courbure ; et que la distance du point
considéré de la courbe à la droite polaire correspondante a la
même valeur.
Prenant à cet eflet trois points infiniment voisins a, b, c de
la courbe donnée, considérons la figure composée des tangentes Fig. G. aux points extrêmes at, cp», de la
droite oo' intersection des plans normaux aux mêmes points, et du système des trois points rz, è, c; projetons ortbogonalement toute cette figure en t' a b'c'v' sur un plan parallèle aux tangentes al ^ cv^ et soit o' le point auquel se réduit la projection de la droite oo' : a' o' représentant la distance du point a à
cette droite, et o' étant le point de rencontre des normales
eu a' et c' de la ligne projetée.
Dans la projection, et en vertu des propriétés des courbes
planes, analogues à celles que nous voulons établir pour les
lignes à double courbure, le rapport -— relatif à Tare infiniment petit fl'c', la distance a' o' et le rayon du cercle a'b'c', ayant la même limite, sont mesurés par des nombres infiniment peu ditïérents les uns des autres. De là, en revenant à la figure primitive, et remarquant que la difîérence r/S — JS'est du second ordre, que l'angle E estégal à Tangle F/5 la distance du point a à la droite 00' égale à la droite r/o', et enfin que le rayon du cercle abc diirère intinimcnt peu, d'après le lemme I,
