PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES GÉNÉRALES. I

(roz/'page 8), du rayon du cercle dh'c'^ on conclura que le

rapport — relatif à Tare infiniment petit abc de la ligne à

double courbure primitive, le rayon du cercle abc ^ et la distance du point a à la droite intersection des plans normaux aux extrémités de cet arc, sont des quantités qui diffèrent infiniment peu les unes des autres, et que leurs limites respectives sont «•gales : ce qui suffit à la démonslraiion,

15. Considérant une ligne à double courbure (pielconque, inscrivons dans celte ligne une ligne polygonale afiydz... ayant ses côtés égaux, et menons, par les milieux /?/, m', m"... de ces côtés, des plans normaux à ces côtés. Ces plans se couperont deux à deux et consécutivement, suivant les droites es ^ c's', c"s",.o., qui sont respectivement perpendiculaires aux plans o'jSy. /3ycî, yâe. . . de deux éléments consécutifs de la ligne polygonale primitive, et qui rencontrent ces plans aux points c, c', c", . . ., centres respectifs des cercles a|3y, 3yJ, . . . , passant par trois sommets consécnlifs de cette ligne: et les droites es, c' s\ c" s",..., formeront elles-mêmes par leurs Fig. 7. intersections successives une nou-

velle ligne jjolygonale ss's"... dont les sommets a-, 5', . . . , représentent les centres des sphères a['jyd , py Je , . . . , qui passent par quatre sommets consécutifs, de la ligne primitive.

Prenant maintenant un point quelconque d sur la droite es, joignons dm' qui coupe c' s' en d' ; joignons ensuite d'm" qui coupe ^V^ en d", d"m"' qui coupe "^V" eu d'"^ et ainsi de suite. Et soit dd' d" . . . la ligne résultante.

L'égalité hypothétique des côtés de la ligne polygonale primitive, la définition des droites es et celle des points c enlraineut successivement les égalités cm = cm' ^ c' m' ^= c' m" , . . ;

l8 VnEMlLRr: I'AUTIIC. Cfl.VVlTKE DElXItME.

los égailles (i m' = d'iii", d" nt." :^ tl'' ni"\..., et entiii Tegalilé (les inclinaisons de d' m' et d' nt" sur c' d\ de d" m" et d" m'" sur c" d'\ .... Or, il résulte d'abord de ees dernières égalités , que la ligue dd' d" . . . se Iraiisforme en une ligne droite pai le développement sur un jdan de la surface polyédrale, formée par les droites c.v, c's'...., sur laquelle elle est traec-e; et il résulte des précédentes que cette mèm^ ligne est une véritable développée de la ligne polygonale inni' m" . . . qui a pour sommets les milieux des éléments de la ligne primitive 5 car si Ton conçoit un fil partiellement enroulé sur la ligne dd'd"d"'. et dont la partie acliiellrment libre d"' m"' atteindrait par son extrémité le point /«'"; et que 1 on déroule ce til de manière que sa partie libre soit successivement dirigée suivant les prolongements des côtés d' d" dd',... delà ligne d"d'd, l'extrémité de ce fil atteindra successivemeni tous les sommets m", ni'.. /?/,... de la ligne i?ini' ni".

Si donc on imagine que la longueur commune des côtés de la ligne polygonale «fSy, inscrite dans la couibe primitive, diminue indéfiniment, et que l'on passe à la limite, on aura ce ibéorème : Les droites polaires re/atii'es aux diflerents point. s d'une ligne à double courbure quelconque sont les génératrices d'une surface développable ., la surface polaire^ V arête de rehroussement de cette surface est le lieu destcentres des sphères osculatrices de la ligne jnindtive j et il passe par chaque point de la surface polaire une développée de la ligne primitive .^ la série tout entière de ces développées formant une série de lignes géodésiques de la surface polaire.

Remarque. Les tangentes de larète de rebrousscmeiit de la surface polaire étant perpcndiculaiics aux plans osculateurs de la ligne primitive, les plans osculateurs de la première sont aussi perpendiculaires aux tangentes de la seconde. Il en résulte que les angles de co/itingence et de torsion de la ligne primitive sont respectivement égaux aux angles de torsion e! de contingence de C arête de rehroussement- le rapport de la première à la seconde courbure pour l'une de ces lignes étant

PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES GÉNÉRALES. Ip

é^nlàV inverse du rapport analogue pour Vautre. (Fouiier.) En outre, les normales principales des deux lignes sont parallèles. (Lemoimier.) Ces deux droites, en ellet, sont situées dans un même plan, le plan normal de la première ligne, qui coïncide avec le plan osculateur de la seconde; et, dans ce plan, elles sont perpendiculaires à une même droite, la droite polaire de la première ligne qui coïi>'^idc avec la l.ingenie de la seconde.

16. Revenant à la figure pit^cédente, supposons que Ton développe sur un plan la surface polyédrale formée par les droites c5, c'5',...; et soient SS'S", CC'C"... les lignes polygonales planes suivant lesquelles se transforment les lignes ss's", ce' c" ... : la ligue dd' d"... se transfornieia, dans ce développement, en une ligne droite; et tous les points m, ni\ ni"^... de la ligne mm' m" viendront se réunir en un même point O de cette droite. Or, les différents points c de la ligne ce' s' obtiennent, avant le développement, en abaissant, des points ni . des perpendiculaires me sur les éléments prolongés de la ligne 55'; et les distances /«c, /7/.V sont alors infiniment peu différentes des rayons du cercle et de la sphère passant par trois ou quatre sommets consécutifs delà ligne primitive y.[:jy: donc^ et puisque les perpendiculaires ///c et les droites m^ sont toujours situées dans le plan de deux éléments consécutifs es, c' s' de la ligne55'j", la ligne CC'C" s'obtiendra^ après le développement, en abaissant d' un même point O des perpendiculaires sur les éléments prolongés de la ligne SS'S"; et les rayons vecteurs correspondants OC et OS de ces deux lignes représenteront, à un infiniment petit près ^ les rayons du cercle ou de la sphère passant par trois ou quatre sommets consécutifs de la ligne primitive a.6y. Dès lors, si l'on conçoit que la ligne polygonale «jSy se rapproche indéfiniment de la ligne à double courbure considérée d'abord, on parvient à ce théorème :

Si on développe sur un plan la surface polaire relative à une ligne à double courbure quelconque ., le lieu des centres

yo PREMIERE PARTIE. CHAlMÏKE DEUXIEME.

(h; cowhiire de celle ligne se transforme suivant la podaiie, rclaln'e ci une certaine origine O, rie f arête de rcbronssement développée; et les rayons menés du point origine à deux points correspo/idafits de l'arête développée et de sa podaire, sont respectivement égaux aux rayons de la sphère oscidalrice et du cercle osculateurpour le point correspondant de la ligne ]>rimilive.

Ce lliéoroinc, dû à Lancrct, et demeuré depuis inaperçu, a été établi par ce i;éomèlrc à l'aide de considérations qui ne paraissent pas complètement rigoureuses.

Remarquons, en effet, en reproduisant sa démonsiratiou , que l'on peut construire toutes les développées de la ligne considérée, suivant la méthode connue, en prenant ^lour point initial, dans la description de chacune de ces lignes, chacun des points du lieu des centres de courbure. On reconnaît par là que chaque développée passe par un point de la ligne des centres, et qu'elle est en ce point perpendiculaire à la génératrice correspondante de la surface polaire: et, comme les développées sont des lignes géodésiques de cette surface, elles se transforment , par son développement, en des droites menées par les différents points de la ligne des centres développée, perpendicvilairement aux tangentes correspondantes de Tarète de rebroussement développée. Or, ajoute Lançret [Correspondance Polytechnique , tome I, page 5i), toutes les développées ayant dans l'espace un point commun, à savoir ie poijit dintersecllon de la ligne primitive et de la surface polaire, leurs transformées après le développement concourent en un même point; ce qui est le théorème énoncé.

On peut objecter à ce raisonnement qu'admettre l'existence d'un point commvni aux développées et à la ligne primitive revient à supposer nul , en ce point, le rayon de courbure de cette dernière; si donc le rayon de courbure de la ligne proposée ne s'annule jamais, le point commun, sur l'existence duquel reposait le raisonnement, n'existe pas; et la déjuonstralion paraît en défaut.

On pourrait croire cependant, et d'après notre démonstra-

rUOl'KIKTES DliSCUll'TIVKS (i I.IV El'. Vl.liS , 21

lion uièiue, ((iir les développées ayaiil loujours un poiiu iominun O après le développement de la surface polaire, il en est de même avant le développeiuciit. Pous s'assurer qu'il peiii en être autrement, il suflit de remartjuer qu'un point quelconque, pris au hasard sur le plan où s'est effectué le développement, est réel, ou imaginaire, par rapport à la surface primitive, suivant que de ce point on peut mener une langente à Tarete de rebroussement développée, ou que l'on' ne peut en mener aucune.

Remarque 1. La réciproque de la proposition précédente est vraie , quoique donnant lieu à une démonstration plus pénible; elle consiste en ce que toute por/nire de rareté de rehroussement développée d'une surface, est. la transformée du lieu des centres de courbure d'une certaine ligne de P espace (ijant , pour surface polaire^ la surface développablc considérée.

Remarque II. Les normales })rincipales d une ligne ii double courbure ne sont pas tangentes à la ligne des centres de courbure, et celle-ci n'est une déuelop/)ée de la ligne })rinuli\'c que dans le cas oii cette dernière est plan<'. Va\ eObt, si les normales principales étaient tangentes à la ligne des centres, comme elles sont situées dans les plans tangents de la surface polaire, elles conserveraient la même propiiété après le développement de celle-ci sur un plan. Or, c'est ce qui li'a pas lieu, en général; car on a vu que dans ce développement la ligne des centres se transforme dans la podairc, relative à une certaine origine O de Tarète de rebroussement développi-e ; les normales principales devenant en même temps les rayons ve( j,-j„ y teurs de la podaire, par rapport à la mènu'

g« s' « origine. Celte propriété /«c^'^rtf/re cesscraii

cependant d'avoir lieu si la podaire de\e-

^ nait une ligne droite passant [lar l'ori-

'^ *" ' ^ giue : mais ;Jors les langeutes d(^ Tarètt;

de rebroussement développée, on les génératrices d<> la sutfacc polaire, seraient parallèles après et aussi, par suite.

avant le développemenl^ la surfate polaire se réduirait à un cylindre, l'angle de torsion serait rigoureusement nul dans toute l'étendue de la ligne considérée, et cette ligne serait plane.

il. Si une ligne à douhle courbure L est coupée à angles

pj droits par les tangentes d'une ligne L',

j un arc quelconque de cette dernière est

sV /\ égala la différence des tangentes menées

y^-L^ ^\ P^f '>es extrémités et terminées à la ligne

y^ \ ^ primitive dont elle est, par suite, une

V / développée: elle est, en outre, située

x;;-^— ^ tout entière sur la surface polaire rela-

tive à la ligne prindtive , et ses normales principales sont parallèles aux tangentes de cette ligne. >

Démonstration. Si on développe, en effet, sur un plan, la surface développable ayant la ligne L' pour arête de rebroussement, la ligne L, qui est une trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes de cette surface, et la ligne L', se transforment en une ligne plane / et en sa développée /'•, et cette seule observation démontre la première partie de l'énoncé. En outre, chaque point de la ligne L' pouvant être considéré comme la limite du point d'intersection de deux normales infiniment voisines de la ligne primitive, appartient à Tune des droites polaires de celle-ci ; et la ligne L' est dès lors située tout entière sur la surface polaire de la ligne primitive. Enfin les tangentes de cette dernière et les normales principales de la développée \J sont parallèles. Elles sont, en eifet, situées deux à deux dans un même plan , — le plan tangent de la surface développable, qui coïncide avec le plan osculateur de la ligne L': — et, dans ce plan , elles sont perpendiculaires à une même droite, — la génératrice de la surface, qui coïncide avec la tangente de la ligne L .

Corollaires, i. Une ligne à double courbure n'admet quhin seul système de développées, défini précédemw.ent, et

PR0P«1ÉX!ÎS I3ESclUI>TlVE3 GÉJ\ Éll\LE>. ?3

représenté par une série de lif^nes géoilésiqucs de hi surface polaire relative à cette ligne.

■I. Les développées d'une ligne \AaneJonnenl une série de lignes géodésiques d'un cylindre ayant pour section dioite la développée plane de la ligne proposée. Evident.

i' . Une ligne dont Vune des développées est une hélice cylindrique est nécessairement plane. Les langeiiles de la ligne eonsidérée sont en elfet parallèles aux normales pi inei pales de la développée; et ees dernières , dans le cas actuel , sont parallèles à un même plan. ( /-o/'/" ci-après, chapitre \I.)

3. Les développées d'une ligne sphérique Jb/v/ie/zf une série de lignes géodésiques d'un cône concentrique à la sphère et ayant pour base, sur celle-ci, la développée sphériquc de la ligne proposée, [p^oir ci-après, chapitre III.)

3'. Si l'une des développées est une ligne géodésique d'un cône, la courbe primitive est une ligne sphériquc } la sphère qui la contient est concentrique au cône; et le rayon de la sphère qui aboutit à un point quelconque de la courbe fait un angle constant avec la tangente correspondante de la développée. (Vieille, Compléments d'analyse et de Mécanique., p 80.)

En elî'et, par le développement du cône sur un plan , la ligne géodésique considérée I/, et toutes ses iangenles, se trouvent développées, ou rabattues, suivant une même ligne droite:, çn même temps, et en vertu de la première partie du théorème contenu dans le n" 17, les diflérents points de la ligne primitive L, situés d'abord sur les tangentes tic la ligne L', viennent se rabattre sur un même point de celte droite. Or la dislance de ce point unique au sommet du cône développé représente la commune distance du sommet du cône h tous les. points de la ligne primitive L, qui appartient dès lors à une sphère concentrique au cône 5 et Tinclinaison de la droite qui mesure cette distance sur la droite, transformée de la ligne géodésique primitive, représente rindinaison constante du rayon de la sphère aboutissant à un point r|uclconqur de

Ja ligne primitive sur la tangenle correspondaiile de la développée.

'S". Les déi^eloppces d'une hélice sphérique jovment une série de lignes géodésiques d'un cône de révolution. [Foir ci-après, chapitre III.)