Que la courbe considérée soit la podaire pp' d'une

ligne aa' par rapport h l'origiDe O. Si l'on considèit' la courbe aa' supplémentaire de la ligne na' ^ on reconnaît aisément que la supplémentaire et la podaire sont, relati veinent à l'origine O, deux courbes à rayons vecteurs complémentaires. Leurs perspectives sur le plan tangent en O, le point de vue étant au centre de la- sphère, sont donc par rapport à l'origine O deux lignes à rayons vecteurs réciproques 5 et les perpendiculaires abaissées de l'origine sur les tangentes en des points correspondants de ces r lignes sont également inclinées sur le rayon vecteur commun. La même propriété subsiste donc sur la sphèi'e, et les arcs de grand cercle oq^ oh^ abaissés de l'origine perpendiculairement sur les arcs tangents en p et en a aux lignes pp' et aa' , sont égalemeni

inclinés sur le rayon vecteur comme poa. Mais le dernier de ces arcs perpendiculaiies est le prolongement de l'arc oa : donc, sur la sphère, comme dans le plan, le rayon vecteur de la première podaire pp' divise en parties égales Vatigle formé par les rayons 'vecteurs de la ligne primitive aa' et de la seconde podaire qq'. Si la ligne primitive se réduit à un point, la podaire est l'ellipse spliérique décrite par le sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle, construit sur une hypoténuse fixe.

3. L'arc normal à la courbe à plusieurs foyers représenlée par l'équation

(c) ni^cos[Ji-{- m.cos p2-h • .= constante,

ou

W|Sin pi .r/p, -f- iii2S,ïnpi.(fp, + ...;= o;

dans lacpielle /«,, nii,... désignent des nombres constants, est défini par la formule (4),

'//,sin p, .sin Vi 4- /«jsin p,.sinV'.. -+-... ^^ o, ou

(c') w, .siny^i-l- r?h.i'\ï\ p-\~. . . = 0;

DES LIGJNES SPIIÉRIQUES.

^1, /;.,,, . . . désignant les arcs, perpendiculaires à l'arc normal, menés par les foyers /i,/,, . . .; et sin/j>,, sin/^j,. . . les distances, positives ou négatives, des mêmes foyers au plan de Tare normal. L'équation [c') exprime donc que le plan de l'arc normal passe par le centre de gravité G des niasses 77*1, mjT • • placées respecti%enient aux foyers/*!, /g, ... -, ou que l'arc normal lui-même passe par un ])oinl Jîxe g-, extrémité du rayon cGg : et la courbe représentée par V équation (c) est un petit cercle de la sphère, ce qui est peut-être un théorème nouveau. Remarque. On peut parvenir directement à ce dernier résultat, en remarquant que le premier membre de l'é{[uation (c) représente le moment, par rapport au plan du grand cercle ayant pour pôle un point quelconque de la coujbe considérée, d'une masse f/ = //^i-h ///2-I-. . . placée au centre de gravité G des masses tu^^ in^, . . . distribuées aux divers foyers yi, f^, ... : la distance du centre de gravité à ce plan est donc constante; ce plan roule sur un cône de révolution autour de l'axe cG -, le grand cercle qu'il détermine sur la sphère a pour enveloppe le petit cercle qui sert de base à ce cône; et la courbe primitive enfin, ayant pour supplémentaire un petit cercle, est elle-même un petit cercle.

4. Proposons-nous enfin, comme dernière application, de Fig. ,2. construire Tare normal à la

courbe CC' déc ri te pa r le sommet libn; d'un triangle ABC, d'aire constante, construit sur une base fixe AB. C , C' étant deux points infiniment voisins de la courbe considérée, les triangles infinitésimaux ACC, BCC' sont équivalents, et l'on a

(i — cosACjr/a = (i — cosBC)i7[3.

On trouve d'ailleurs, dans chacun de ces liiangles,

sin AC , dv. = CC . cos AGN, sin BC . f/p = CC , cos CCN,

2h PKEMIERU; l'AIlTlE. CHAPITRE TROISIEME,

C]N étant l'arc normal ; et ^/a, r/,3 désignant les angles inliiiiment petits CAC, CBC : et Ton déduit de la combinaison de toutes ces relations

1 — cosAC ^,, I — cosBC

ces AC> = r---— cosBCîN,

sinAC sinBC

ou

(d) tang — «cosACNr^tang — cosBCN.

Or, si Ton prolonge les arcs AC, BC jusqu'aux points A', B'dianiélralement opposés à A et à R, et si on désigne par a et |3 les points milieux des arcs CA', CB' ; l'équation précédente pourra être remplacée par celle-ci :

„ cos'xCN cos^CN

' tang a C ~" tangpc'

qui exprime que l'arc normal CN passe par le point de concours des arcs menés par a et ,3 perpendiculairement aux arcs CA', CB'; ou parle pôle du petit cercle de la sphère déterminé par les deux points fixes A'. B' et par le point C. Et il résulte delà, non-seulement la solution du problème proposé, mais encore la détermination de la nature de la courbe considérée, ou la démonstration du théorème de Lexell. On voit, en effet , que la courbe considérée et le cercle A'B'C sont tangents l'un à l'autre en C : celle courbe ne peut donc être cru un cercle déterminé passant par les points A' et B'. ou l'enveloppe d'une suite de cercles passant par ces mêmes points ; mais cette dernière hypothèse est inadmissible, puisque l'enveloppe se réduirait aux deux points directeurs A' et B'; donc, etc.

Remarque ]. L'écjuation (<-/) exprime encore que l'arc normal en c est perpendiculaire à l'arc de grand cercle mn qui joint les milieux des côlés AC et BC : d'où celte construction donnée par Gudermann [Grundriss der Analytischen Spharih, p. 147) du pôle ]X du pelit cercle : Mener V arc de grand cercle perpendiculaire sur le mdieu p de la basç donnée AB; et j)rendre sur cet arc , à partir de son point de rencontre q avec l arc mn, une longueur q^ égale à un quadrant.

DES LIGNES SPUÉIUQUES. it)

Remarque 11. L'inlerprétaliou précédente de l'équalion [d] tonduit encore à vme première définition des polygones d'aire inaxiniuni inscrits dans une courbe donnée., à savoir que Varc normal à la courbe circonscrite en chacun des sommets du jwlygoiie maximum doit être perpendiculaire à l 'arc de grand cercle joignant les milieux des côtés adjacents. Il en résulte," on particularisant la courbe donnée, que de tous les polygones sphériques, d'un même nombre de cotés, inscrits dans un petit cercle, le polygone régulier est maximum d'aire. Si la courbe donnée est une ellipse sphéri([ue, la dernière définilion du polygone maximum inscrit parait olîVir une tout autre dilliculté, même dans le cas le plus simple où le polygone se réduit à un triangle, [loir Steincr, .fourntd de Mathématiques , 1841, page 170.)

ÎI

Cercle de courbure, cercle osculateur et déi'eloppéc d'une ligue sphérique quelconque.

20. Propositions FRÉLiMiKAiRES. — Lv-Mm-iLÏ. Deux petits cercles de la sphère étant tangents intérieurement en un poin.t, la différence de leurs ordonnées curvilignes corresponda)ites, terminées au grand cercle tangent au point commun, est un infiniment petit du second ordre, ou du troisième [V abscisse commune étant du prenner), suii^a/it que la différence des rayons des deux cercles est finie ou infiniment petite .

Démonstration. L/aliscisse commune étant du premier ordre, l'ordonnée de chaque cercle est du second, et il en est de même de la ditïerence des ordonnées, si la différence des rayons est finie. D'un autre côté si, l'abscisse commune demeurant fixe, la différence des rayons décroit indétiniment , la nouvelle différence des ordonnées décroîtra de même indéfiniment; et son rapport cà la dilTérence primitive, déjà du second ordre, tendra vers zéro : ce qui veut dire que cette nouvelle différence est du troisième ordre.

Lemme II. Etant donné un arc infiniment petit, aMb

3o PREMIÈRE VAUTIE. CHAPITRE TROISIÈME.

d^u/ie courbe spliéiique quelconque^ il existe toujours entre les extrémités de cet arc un point M tel, que V arc de grand cercle normal à la courbe en ce point soit perpendiculaire à Parc de grand cercle ab qui réunit ses extrémités . En outre , la distance de ce point M à l'arcah est du second ordre j et. le grand cercle joignant le point M au milieu de la corde ab fait ai^ec l'arc normal en ]M un angle nul, ou fini, mais toujours différent d'un droit.

Démonstration. Abaissons d'un point m de Tare considéré am'Mb un arc de grand cercle perpendiculaire sur la corde ah , et menons par ce même point un arc de grand cercle tangent à la courbe en ce point, et dirigé dans le sens ab. La longueur du segment intercepté par ces deux arcs sur la corde ab est très-voisine d'une demi-circonférence, ou de zéro, quand le point m est très-voisin de l'origine <7 , ou de l'extrémité b\ et elle varie d'ailleurs d'une manière continue si le point m décrit lui-même l'arc aMb d'un mouvvment continu. Le segment intercepté sera donc exactement égal à un quadrant, pour une certaine position intermédiaire M du point décrivant-, et à cet instant l'arc normal à la courbe en M coïncidera avec l'arc perpendiculaire à la corde «6. D'ailleurs la distance de ce point iM à la corde ab est évidemment du second ordre-, et l'are qui mesure cette distance forme avec celui qui joint le point M au milieu de la corde ab un angle, nul ou fini, mais toujours di lièrent d'un droit. Cet angle, en elfet, est rigoureusement nul (|uand la courbe est un cercle, et ne peut être supposé droit quand la courbe est quelconque : car ce serait admettre que l'arc tangent en M coupe la corde ab entre ses extrémités.

21. Cercle de courbure géodésique. On appelle coa/Z'^/e géodésique totale d'un arc déterminé d'une ligne sphérique. l'angle extérieur {ovmv par b s arcs de grand cercle tangenl>

DES LIGUES Sl'IlÉUIQUES. 3l

:iux cxtiéiuiU's de cet aie , ou Tare qui mesure cet angle dans la circonférence de raj^on i ; courbure géoclésique moyenne du même arc, le rapport de la courbure totale à la longueur de laïc, et enfin courbure gcodcsique de la ligne considérée, en (haque point de cette ligne, la limite -j- vers laquelle tend la courbure moyenne d'un arc variable de cette ligne, ayant pour origine fixe le point considéré et décroissant indéfiniment. Si la ligne considérée est un petit cercle de la sphère, la courbure géodésique movennc d'un arc ([uelcouque est constante, et mesurée par 1 0 désignant le rayon s])hèri(nie du i)etit cercle.

^ tang 9 ^ j I I i

On appelle enlin cercle de courbure géoclésique vn un point ilune ligne spliérique le petit cercle de la sphère tangent à cette ligne eu ce point, situé du même côté par rapport au grand cercle tangent, et ayant même courbure que cette ligue en ce point. Le rayon spliérique 0 de ce cercle est donc défini

par l'équation

1 ea

tang G fis

lis désignant Tare élémentaire de la ligne considérée, et e^ Tangle extérieur des arcs de grand cercle tangents aux extrémités de cet arc, ou Vang/e de contingence géodésique ; et le pôle de ce cercle est appelé le centre de courbure géodésique^ ou le centre de courbure spliérique de cette ligne, pour le point considéré.

TuÉORiLME I. Le centre de courbure sphérique d'une ligne en un de ses points coïncide cwec la limite du point d'intersection de l'circ de grand cercle normal à la ligne en ce point, et d'un second arc normal, infiniment uoisin du premier. Démonstration. Deux arcs tangents infiniment voisins et les arcs normaux correspondants forment un quadrilatère spliérique birectangle oatb, dont l'aire est mesurée par l'une

ou l'autre de ces expressions o — r^,

o ^i — cosort) : la première exacte; et la

seconde supposant romission des infiniment petits du second ordre, t- . On a doue

(a) ''g^=-^-'- cos oa + z- ;

d'ailleurs

(!s = fl^ = 0 . sin ort 4- s ; ,

et l'on déduit de ces deux relations

tang<7o ds tang(

liai ao == Ô. 0, q. f. d.

On peut encore établir cette proposition en remarquant que les prolongements des arcs ao, bo sont normaux en a' et Z>^à la ligne a' b' supplémentaire de la proposée ab ^ et que l'arc élémentaire a' b' de la supplémentaire mesure l'angle de contingence géodésique correspondant e„ de la proposée. On a donc

Cg a' b' sin oa' cos oa i

"•^ '^^ sino« sin o« tangos

^2. l.e cercle osculalenren un point <? d'une courbe sphérique «èc étant, par définition, la limite d'un cercle variable passant constamment par ce point et par deux autres b et c de la courbe intiniment voisins du premier, le cercle osculateur en chaque point d'une ligne sphérique coïncide avec le cercle de courbure sphérique au même point, et c'est ce qui résulte du théorème suivant.

Théorème IL Le pôle du cercle osculateur [(jui est évidemment un petit cercle de la sphère) coïncide avec la limite du point d'intersection de deux arcs normaux infiniment voisins.

Démons! ration. Soient o ie pôle du petit cercle passant par a. h , c ; m cl ji les milieux des arcs de grand cercle ab et bc\

DES LIGNES SPHÉRIQIES. 33

M et N les points des arcs ab et bc de la ligne considérée, pour lesquels, suivant le Lemme II, les arcs normaux M//, Nv sont perpendiculaires aux cordes ah et bc\ O le point d'intersection de ces arcs, et o) le point de

rencontre de ^^O et démo.

Les angles m M fz, //Nv étant différents

d'undroit, et Mp-, N vétantdu second ordre, il en est de même de /r/j7., nv. Il en résulte que les segments O oj, oo) sont du premier ordre, ainsi, par suite, que la distance Oo. Le point de rencontre de deux arcs normaux consécutifs et le pôle du cercle variable abc sont donc infiniment voisins, et les limites de ces points coïncident, c. q. f. d.

On peut encore regarder le cercle osculateur comme la limite d'un cercle variable tangent en a, à la courbe considérée ., et passant par un autre point h de la courbe, infiniment voisin du premier. Conservons, en elFet, la même figure, et menons, en outre, l'arc normal en a qui rencontre en I et / les arcs

Mf/O, m o. On reconnaît encore que le segment 1/ est du premier ordre, ou que le pôle / du cercle variable dont il s'agit est infiniment voisin du point de rencontre I des arcs normaux en a et M ; et, par suite, que les limites de ces points coïncident.

Théorème III, tf/ie ligne sphérique ab et le cercle osculateur de cette ligne en un point a étant rapportés au grand cercle tangent en ce point j la différence des ordonnées curvilignes des deux courbes est du troisième ordre, l'abscisse commune étant du premier.

Démonstration. Consldérantle petit cercle, de pôle/, tangent à la courbe en a et passant par le point b:, menons au pointa de ce cercle l'ordonnée bp rencontrant en b' le cercle osculateur de la courbe au point a. Les deux cercles ab' et ab étant tangents en a et leurs rayons étant infiniment peu différents puisque, d'après le théorème précédent^ le premier esl la limite du second-, le Lemme I est applicable, et la différence bb'

34 VUEMlLuE PARTIE. CHAPITRE ÏIIOISIÈME.

de leurs ui données esldu li oisièmc ordre. Or, le point h appartenant à la courbe primitive elle-même, bb' est aussi la diflerence des ordonnées de la courbe et du cercle osculateur; et le lliéorème est démontré. — La réciproque est vraie et s'établit aisément.

23. Théorème IV^ Chacun des arcs normaux à une courbe spJiérique quelconque est tangent à la déi'eloppée sphériquc de cette ligne, c'est-à-dire ci la courbe jormée par les intersections successives des arcs normaux à cette ligne ^ et Tare élémentaire de la développée est égal à la. différence correspondante des rayons de courbure sphérique de la ligne primitive . Démonstration . Soient a, b, c^. . ., des points successifs Pi„ ,,i de la ligne primitive, et o, o'..., les

points d'intersection des arcs normaux à cette ligne en a et /? , en ^ et c , etc.

Soient, en outre, a. la limite de o quand on suppose que, a étant fixe, b se rapproche indéiiniment defl; [^ la limite de o' (juandon suppose que, b étant fixe^ c se rapproche indéiiniment de b , etc., et sort a/3 la courbe formée par tous ces points limites, c^u la développée.

i). Si l'on abaisse l'arc a/> perpcîïdiculaire sur ^ob, on a dans le triangle opy.,

y.p = ox.sino.

Or le segment o y. est du premier ordre , puisque le point a est , par définition, la limite du point Oj il en est de même de l'angle o, puisque les points a et b sont infiniment voisins; la distance y.p est, par suite, du second ordre; et ce résultat suffit pour établir que l'arc fj^ est tangent en fi à la courbe ap, dont l'arc ^^ B est d'ailleurs du premier ordre.

a). En second lieu, la diHerence des arcs oa et ob étant an moins du second ordre (on peut, en elîet , établir qu'elle est du

DES LIGNES SPMÉRIQXJES. 35

troisième), OU peut poser, eu négligeant les infiuimcut petits de cet ordre,

ob — o/î =: G , ou {[^b — p o ) — ( « rt -4- o a ) = o ;

ou encore

ip =^ ^^b — 'jin,

ifin

en remplaçant ao-f-o(3 par son égal, au troisième ordre près, arctzjS.

Corollaire. Un arc fini quelconque olÏ. de la développée , correspondant à l'arc al de la ligne primitive, est égal à la différence IX — a a des rayons de courbure sphérique de cette ligne en ses extrémités a et \. De plus , Concevant un fil partiellement enroulé sur la développée od et dont l'extrémité coïnciderait actuellement avec le point a , et déroulant ce fil^ la portion libre sera toujours dirigée suivant un grand cercle^ et son extrémité venanl coïncider successivement avec les points a , b , . . . , décrira la ligne primitive tout entière.

24. Hayons de première et de seconde courbure d'une ligne sphérique ; relation entre ces rayons , et représentation géométrique du rayon de seconde courbure.

Notation. Nous désignerons, dans tout ce qui suit, les angles de contingence et de torsion en chaque point d'une ligne sphérique par les lettres e et /i ; l'arc élémentaire par o?y, les rayons de première et de seconde courbure par Ti et /'a, et, comme précédemment, Tangle de contingence et le rayon de courbure géodésiques par e^ et 7„-, enfin la lettre 0 désignera l'inclinaison du plan osculateur sur le plan tangent à la sphère au même point. D'ailleurs, quand nous aurons à considérer, en même temps que la ligne primitive, sa développée sphérique, nous désignerons les éléments analogues de celle-ci par les mêmes lettres accentuées.

Cela posé , le rayon de première courbure /•, d'une ligne sphérique, ou le rayon du cercle osculateur, n'est autre chose,

d'après le Théorème II, que le rayon du cercle de courbure géodésique. Or le rayon sphérique 6 de ce dernier étant défini par l'équation

/V =r — r=: taili^ ô,

on a , pour son rayon dans le plan ,

?5) /-, = — = sinô;

les angles de simple contingence et de contingence géodésique étant liés par la relation

(6) <?^=tfCOS&,

déjà établie d'une manière générale, et dans laquelle 0 désigne l'inclinaison du plan osculateur sur le plan tangent à la sphère: et l'on déduit aussi de ces deux dernières équations ,

(5,6) e=\Jds+c,\

pour l'angle de contingence ^rZ^io/z/e de la ligne considérée.

D'un autre côté, la surface polaire relative à une ligne sphérique quelconque se réduisant à un cône dont le sommet est an centre delà sphère, et ayant pour base sur celle-ci la développée sphérique de cette ligne , d'après les Théorèmes II et IV, l'angle de deux génératrices consécutives de ce cône, ou l'angle de torsion de la ligne considérée, est mesuré par l'arc élémentaire de la développée, qui est lui-même égal à dB. On a donc , pour le rayon de seconde courbure ,

ds ds d9 I

''=T = dô^ ^" ^ = -r/-

et si l'on a égard à cette relation, en différentiant l'équation (6) par rapport à *, il vient

d/\ dO cosô

— =:COse. — = ,

ds ds r-,

ou

r.. -— = cosO, ds

DES LIGNES SPUÉraQtES. 87

dont la combinaison avec réqualion (5) l'ournii, par l'élimination de 0, la relation découverte par M. J.-A. Serret, entre les rayons de première et de seconde courbure d'une ligne sphérique ,

Enfin, si l'on considère, en même temps que la ligne proposée /, sa développée sphérique /', on a déjà vu que l'arc élémentaire de cette dernière mesure l'angle de torsion de la proposée, et l'on aperçoit aisément que son angle de contingence géodésique est égal à 1 angle de simple contingence de la proposée :

ds' =1 h, f'g^c ;

et si l'on divise ces équations mejnbre à membre, on trouvera pour le rayon de courbure géodésique de la développée

(8) /•' ^tangô'^-'-

Cette équation peut sécrire

(8') ..=-ii^

^ tangG'

a, rt', a" désignant trois points corrcsporiflanls de la ligne proposée, de sa développée et de la développée de celte dernière 5 Fig. 17. et comme le triangle rectangle «a' a" four-

nil la relation

tang« rt '

Ainsi, en chaque point d'une ligne sphérique , le rayon de seconde courbure est mesuré parla tangente irigononictrique de l'iiiclinaison, sur cette ligne , de l'arc de grand cercle qui joint le point considéré au centre de courbure sphérique correspondant de la développée.

25. Théorème V. Une ligna sphériqiw dont la première courbure [courbure absolue, ou courbure gèodésique) est constante, est un petit cercle de la sphère.

Démonstration. Le rayon de première courbure étant constant, il résulte de la formule (6) que l'inclinaison du plan osculateur de la ligne considérée sur le plan langent à la sphère est aussi constante : donc, le plan osculateur de cette ligne est un plan fixe , et celte ligne est un petit cercle ; ou bien le plan osculateur roule sur une sphère concentrique à la première, et d'un rayon égal à cosG. Mais, dans cette seconde hypothèse, l'intersection de deux plans osculateurs successifs serait tangente à la sphère intérieure, et ron sait, au contraire, que cette intersection est tangente à la ligne considérée et, par suite, à la sphère extérieure: cette hypothèse est donc inadmissible, et le théorème se trouve établi.

26. La détermination de la ligne sphérique dont la seconde courbure est constante, présente de plus grandes difficultés. La représentation sphérique de /'.j, que nous avons indiquée dans le n° 24, conduit cependant à une propriété de celte ligne, qui peut être utile pour sa définition ultérieure : à savoir que le grand cercle joignant un point quelconque de cette ligne au centre de courbure sphérique correspondant de sa déve^ loppée , coupe la ligne proposée sous un angle constant.

Il résulte encore de la définition même de cette courbe et des liaisons qui existent entre une ligne sphérique quelconque et sa développée, que un arc quelconque de la courbe est proportionnel à rare correspondant de sa développée sphérique. Cette propriété , ou la relation é({uivalente

sinô

^ constante,

taiigS'

se transforme , à la limite, quand le rayon de la sphère augmente indéfiniment, en celle-ci

t ?' p et p' désignant les rayons de courbure de la courbe plane

DEb LIGNES SPIJÉRIQUES. 3q

iiaiisfoiméo cl de sa développée; et celte é([Utiiioii icpiesentc une spirale logarillimique. Oi\ la loxodromie sphérique s(> transformant aussi en une spirale, dans les mêmes circonstances, la possibilité de l'identité de ces deux lignes sphériqucs résulte de cette analogie. Mais nous verrons un peu plus loin que Texpérience contredit cette induction , et que la ligne sphérique dont la seconde courbure csl constante n'est pas une loxodromie.

Observation. On vient de supposer que « la relation -,= constante ayant lieu entre les t'ayons de courbure correspondants d^une ligne plane l et de sa développée 1', cette ligne est nécessairement une spirale logarithmique. Cette proposition, que nous aurons d'ailleurs à emplo3er dans la suite, peut être établie en quelques mots de la manière suivante :

Si l'on désigne par a , «', a'\ trois points correspondants de la ligne /, de sa développée /' et de la développée l" de celte dernière, la relation donnée exprime d'abord que l'hypoténuse aa" du triangle aa' a" coupe la ligne / sous un angle constant. D'ailleurs les élémenls correspondants des deux lignes /, /' étant, par suite de la même relation, dans un rapport constant, les lignes /,/' sont semblables, leurs éléments homologues étant rectangulaires. Enfin la ligne /' étant semblable à la ligne / est , comme celle-ci , semblable à sa développée /", les éléments homologues de ces deux lignes étant encore rectangulaires. Il en résulte que les lignes /, /" sont semblables entre elles et semblablemcnt placées. Donc la droite aa'\ (jui joint deux points homologues de ces lignes et qui coupe déjà la ligne / sous un angle constant, passe par un point fixe o, centre de similitude de ces lignes; et la ligne / est une spirale logarithmique.

l2T. Théoujeme \I. Toute hélice sj)hcri(pte est une développante d' un petit cercle de la sphère.

Première déntonslration. Poui<[uc l.i ligiu' (onsidi'icc soii

4o PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE TROISIEME,

une hélice spliérifjue, il faut cl il suffil, cVaprès un tlicorème dû à M. Bertrand , et que nous établirons plus loin , que le

rapport de ses deux courbures — demeure constant, ou,

d'après la formule (8), que le rayon de courbure sphérique 0' de la développée demeure constant : ce qui exige que cetle développée soit un petit cercle, la courbe considérée étant dès lors une développante de ce petit cercle.

Deuxième déinonstralion. On peut parvenir autrement à ce résultat en remarquant (jue la courbe formée par les extrémités des arcs de grand cercle tangents à une ligne sphérique quelconque, et égaux à des quadrants, peut être regardée comme le lieu des extrémités des rayons de la sphère parallèles aux tangentes de cetle ligne : si donc cette dernière est une hélice, la courbe auxiliaire sera un petit cercle de la sphère. Or, on reconnaît aisément que la développée sphérique de la ligne primitive et la courbe auxiliaire sont, dans le cas général , deux lignes supplémentaires, ayant par suite même développée-, et comme, dans le cas actuel, la développée de la courbe auxiliaire se réduit à un point, il en est de même de la développée seconde de l'hélice sphérique, et la première développée de cette ligne se réduit à un petit cercle de la sphère,

Enfin, on parvient encore à ce résultat par les considérations ordinaires, en remarquant que la surface polaire relative à la ligne cherchée est un cône concentrique à la sphère, et ayant pour base sur cetle dernière la développée sphérique de celte ligne. Or la ligne considérée étant une hélice, le cône, qui en est la surface polaire, est de révolution; et sa base sur la sphère, ou la développée sphérique de l'hélice, est un petit cercle.

28. Expressions diverses du rayon de courbure géodésique d^une ligne sphérique.

i). Soit une ligne sphérique quelconque aa^ dont chaque point est défini par sa dislance sphérique r> à un point fixe A,

DES LIGJNES SPHÉRIQUES. 4l

pris sur la surface de la sphère, et par l'angle w que le grand

cercle qui mesure celte dislance fait avec le grand cercle

Fig. 18. fixe Ax. Menons les rayons vecteurs splié-

riques Art = p-, Aai= p -\~ fîp, ainsi que les arcs de grand cercle at, ait tangents à la courbe en a, rtj -, décrivons, du point A comme pôle, l'arc de petit cercle a a el menons les rayons crt, ccc, de ce cercle; désignons enfin par V et \ -i- d\ les angles aigus sous lesquels les arcs Aa, A^i coupent la courbe

en rt,ai; et par doi l'angle «Art, ou son égal aca.

Le triangle aaai , rectangle en a, donne d'abord pour l'arc élémentaire de la ligne considérée

= sj:

Ip H- doj sin^j ;

la substitution de la portion de zone Art a au quadrilatère sphérique Aata^ et l'évaluation directe de l'aire de ce dernier fournissent ensuite l'égalité

( I — ces p ) f/w =<Y w + d\ — t'g , ou

(è) eg= dW -h ciM.cosrj.

Cela posé, si Ion prend d'abord l'angle w pour variable iiidépendanfe, on aura, comme on sait,

tangV =; smp: -y- = sinp:p ,

dY

p - ces p — p sin p p'-+sin'p

Cette valeur, substituée dans la formule [b) , donne la valeur du rapport -.^-; et comme ia formule (a) fournit l'expression

du rapport — » en divisant ce rapport par le précédent on

4'^ PUEMIÈKE l'AKXlK. CHAl'lTUl-: TUOlSlEMli.

Uou\e enlin

9) r„=tany5=— = r~ ,. rr-.

eg cosp.sin'^p 4- 2p -cosp — tj sinf-

Supposons, eu second lieu, que l'on prenne Varc s pour variable indépendante, ou aura dans le triangle a 5; «,

cosV = — ^ = c'

(Is '

d'où

On déduit d ailleurs de la formule («),

lis sin 0

et si l'on porte ces valeurs dans léquatiou [b) , préalableuieut divisée par ds, on trouve

(9') ., = .ans9- -"W—P"

( I — p'^ ) cosp — p" sin p

2). Enfin, en désignant par/j Tare de grand cercle abaissé

de l'origine des rayons vecteurs sur l'arc tangent au point a

delà ligne considérée , et regardant p et p comme formant

un système particulier de coordonnées, on a, eu généralisant

une formule d'Euler,

, „ , , sin p . fl?p

(q ) 7v — tan^ ô = •— -: — C.

^•' ' o ^ d.smp

Pour établir cette formule le plus simplement possible, sub- F>S- '9- stituons à la courbe considérée sou cercle

osculateur en a, dont le pôle est a' -^ me-

^ ^-^-^\ nous Aa', posons aa' =^ 9 et Art' = a,

I A/ Le triangle rectancle Apa donne p

sinyj = sin p . sin A ap =r sin p cos A na' ;

et si Ion substitue cette valeur dans la formule

fos 7. = cosO.cosp + sinO.sin p . «os Affc/',

DES LIGNES SPHÉRIOUES. 4^

louinie par le triangle A.aa', il vient

cosa = cos6».cosp -I- sinG.sin/-» ; d'où

cos9.sinp.c/p =: smh .dsïnp,

ce qui est la formule énoncée.

On peut encore établir directement celte formule en abaissant les arcs Ap, Api , perpendiculaires sur les arcs tangents eu a, «1 , et dont le second rencontre en g l'arc tangent en rt, de manière que pig = r/p. Les triangles infinitésimaux Aaa, , apiÇ, et le triangle rectangle Apa fournissent les relations

do I sin <?/>», s,in ap

cosV e„ />,(/ dp

. — ,, sinp sinV ,^ sinp.cosV

s^n c/p =r tang/» . cot V — ■ cot V = ■ ,

cos/>» cosp

dont la multiplication membre à membre donne, après simplification, la formule cherchée

ds s'mp.dp &in p. dp e„ cos p. dp d.sinp

Remarque I. La formvile (9) ne diffère que par la notation de l'une des formules données par Gudermann sur cette matière i^Grundriss der analytischen Spharih, page 34)-

Remarque II. La formule (9") suppose que l'origine des rayons vecteurs soit située du même côté que la ligne sphérique elle-même, par rapport au grand cercle tangent à celte ligne au point considéré. Elle devrait s'écrire

sin o.dr.

(q ) /-. = tang9 = —^ — '-

dans le cas contraire.

29. application des formules précédentes à relapse et à la loxodromie spliériques.

1). Supposons d abord \ ellipse sphérique rapportée à son centre o; et concevons l'ellipse plane également rapportée à

44 PREMIÈRE PAKTIE. CHAPllUE TROISIEME.

son centre, qui «ui est la perspective sur le plan langent en o, le point de vue étant au centre de la sphère : la considération de cette dernière, si vitilenient employée déjà par M. Borgnet, dans son excellent Essai de géométrie analytique de la sphère (Tours, 1847), devant nous dispenser de tout calcul nouveau, par l'emploi des formules bien connues relatives à l'ellipse plane. L'équation de celle-ci, suivant les coordonnées particulières /-et p, est

«, b, r et p désignant les demi-axes de l'ellipse plane, ou les tangentes trigonométriques desdemi-axes del'ellipse sphérique; le rayon vecteur d'un point quelconque de la courbe, et la dislance du centre à la tangente en ce point. On aura donc, poivr l'ellipse sphérique rapportée aux coordonnées analogues p et />, Téquation

tang'/) {a- -\- b- — tangV) = «'/»% ou

(c) sin^/) (rt- b- -\- a- -+- b' — tang-p) ^a'' b'' :

de là, en difierentianl et appliquant ensuite la formule (9"),

do (a- b' -ha- -\- b' — tang'p) d.s\np — siny;. tangp . — ^ = 0,

sinp.dp ( a- b' -h- a^ -+- b- — tang p) cos'p a'' b- cos^p

d.sinp sin/p sxn^p '

(10) /•^.= tangO — rt-/;\-T— C-

A Fexlrémité de l'un des axes, de l'axe 2a, par exemple, la

formule devient

b' rang- f>

•"''^ n tanga

2). Supposons, en second lieu, Y ellipse sphérique rapportée à l'uji de ses foyers f , pris pour origine, et cherchons d'abord son équation entre les coordonnées p et p.

On a

A/' SU!/- = sin p . sm V = sin p . cos / = sm p cos -,