DES LIGNES SPHÉRIQUES

V ei i désignam les angles complémentaires que forme le rayon vecteur/m avec l'arc tangent et l'arc normal en vi : le triang\efmf' donne d'ailleurs la lelation

___ /sin(a-f- 7)sin(a — 7]

• TT /'"/' . /sin(a-4-7)sin(a — 7)

Sin V = COS = t / : : 7

/^^ / 2 V smpsmp'

sinp sin(2 a — p) ' et l'on en déduit, poui l'équation de l'ellipse,

sin 0

(e) sin'o = sin(a H- 7) sin(a — 7). -: — ; '——f

^ ' ^ ^ ' ^ sm(2a — p)

le grand axe et l'excentricité de la courbe étant représentés par 2a et iy.

Différentiant cette équation, et ayant égard à la formule (9"), il vient d'abord

1 sin p . d sin p = si n ( a + 7 ) sin ( a — 7 )

sin ( 2 a — p ) cosp -f- sin p ces (2a — p ) sin- (2a — p)

sin 2 st. sin (a H- 7) sin (a — 7)

— : '/ ^ •do,

Sm-(2a — p)

sinp.<7o 2 sin p sin « sin- (2 7. — 0)

tang S = —A — '- — -. ^^^ ,V '^ , •

d. sjnp sin 2 a . sin (a + 7) . sin (a — 7)

i)e là enfin, en remplaçant sinp par sinp sin\, et utilisant la formule [d),

2 sinV

sin'(x-f-7)sin^(a — 7

2sinV. sin^û.sin'(2 a — o) ' sin* V

tango = ^^ ■ — — = '■

sin 2 a sin (a -h 7) sin (a —7) sin 2 a. sin (a + 7) sin (a — 7)

/ X „ 2sin (7. -h7)sin(« — 7) l

(il) r. =:tang9= ^ '-^ L il.

sin 2 y- sin= V

On peut d'ailleurs introduire dans cette formule l'arc nor-

46 PKEMIÈKE PVR.TIE. C.H.VPITUE TUOISI È.AI E .

mal in/i=^]V teiininé à l'axe ioca\JJ'. Car si lou désigne par n la bissectrice de l'angle intérieur m d'un triangle rectiiigne JniJ', par /• et /' les côtés adjacents, on démontre aisément cette formule

1 ; = 2 cos - :

et en regardant ce triangle comme la perspective sur le plan tangent en vi (Ui triangle spliérique^)??/'. on en déduit pour ce dernier

5 j 5 ^ = 2 sm V :

tang-i tang(2 7. — 0'

d'où, par des transformations successives,

tangN sin ('04-2 y. — ç. : 1= tangN sin 2 a = 2 sin V sin 0 sin [iy. — 0 ) j

ou, en multipliant par sinT et remarquant que

sinp sin (2a — c/ sin^ V = sin ( a + 7 '■- sin [y. — 7 ) ,

d'après la formule {d) .

2 sin ,' a -4- 7 1 sin ( a — 7 )

tangN. smV = ■ t^ ^ ^

^ sm 2 a

c{ui, combinée avec la formule (11), nous donne enfin

tansN tanuN

1 2 ) tang 9

sin- V cos' /

Remarque I. Le produit tangos .sin\ étant constant, il ré^ suite de la formule (n) que /c rayon de courbure géodésique en chaque point d'une ellipse sphêrique est proportionnel aiL cube de la tangente trigononiéfrique de la portion de Varc normal à la courbe en ce point, terminé à Vaxe focal.

Remarque II. La forraide (12) démontre immédiatement celle construction du centre de courbure géodésique de l'ellipse splîérique, à laquelle j'étais parvenu par d autres considéralions (*) : Par le point de rencontre de Varc normal et de

{■*} Des Mrihod-f en Ccomciric, pao;c 87. (Mallol-Bachelior, iH.t'i. i

Ui:S LIGNES SPHÉRIQtJES. 47

r axe focal, et perpendiculairement au premier , mener un arc de grand cercle terminé au rayon vecteur gui joint T un desfojers au point considéré; et élever, par son extrémité^ un arc de grand cercle perpendiculaire au rayon vecteur et rencontrant Varc normal au point cherché.

3). La ligne aa^ étant une loxodroniie ayant pour pôle Tori-

gine des rayons vecteurs, on a, entre le rayon vecteur Aa = p d'un point quelconque de la courbe et Tare A/7 = />, perpendiculaire au grand cercle tangent en <7, la relation

(y s'mp =r. sinp. sin V ,

d.sinp =-■ sinV.cosp.r/p,

puisque, par la définition même de la courbe, 1 angle V est constant; et Ton trouve, en appliquant la formule (9"),

tanirp .3) '-8" = lî^'

Otl

cosA<7c(' = tang A«.cot<m';

a' étant le centre de courbure géodésique de la loxodromic en a [voir la figure de la page 42). Il résulte de celte formule que le triangle a A a' est rectangle en A, de sorte cjue le centre de courbure géodésique, en chaque point de la loxodromie, s'obtient par la même construction que le centre de courbure de la spirale logarithmique qui en est la projection stéréographique. Mais Là s'arrête d'ailleurs l'analogie entre les développées plane et spliérique de ces deux lignes. Car si le triangle «Aa', rectangle en A, est supposé rectiligne, l'angle Aaa' étant constant, il en est de même de l'angle Aa'a, qui est précisément égal à V ; et de là résulte l'identité de la spirale et de sa développée. Mais si ce triangle est spliérique, l'angle Aaa' étant constant et le côté Aa variable, l'angle Aa'a ne saurait être constant; et, par suite, la développée sphériquede la loxodromie' n'est pas soumise au même mode de eonslruc-^ lion {{ue cette ligne elle-nîême.

Si l'on abaisse encore Kp' perpendiculaire suraa'. on aura,

en posant Aa = o', h.p' =^p' . et désignant par Ô' le rayon de courbure géodésique en a' de la développée de la loxodromie,

sino'.r/v' tariez =z

d.sinp' mais on trouve aisément sur la figure

sinp ^ tangp'.tangV, sin/j' = sino.cosV, (/' ) sinp' = sin V . tang &' ;

de là , en dillérentiant et substituant dans l'expression de

tang 6',

sin&'.ros-/--' sin ô . cos- j^^'

tani; r = '— =: ,

* sin^ tangV

ou encore

sinGi taPL'V

tang G CCS- p

/•j désignant [roz/'page Zy, formule (8')] le rayon de seconde courburede la loxodromie. Il résulte de cette dernière formule,

dans laquelle — —, est un nombre variable, cette conséquence

négative déjà annoncée ( voir page 38- u° 2()) que fa ligne sphérique dont la seconde courbure est constante n est pas une loxodromie.

Des enveloppes spJiêriqucs.

30. De l enveloppe sphérique dune série d'arcs de grand cercle passant par les différents points d' une ligne donnée^ et coupant cette ligne sous un angle qui demeure constant, ou qui varie suivant une loi donnée.

Soit j' le point d'intersertiou de deux arcs de grand cercle

DES LIGNES SPHÉRIOUES.

ifiniment voisins «/, a,/, coupant sous les angles a et n-'r-da Fig. jo ^^ ligne sphériqueaai. Menons les ar( s de

grand cercle tangents à cette ligne en a, «1, se coupant en t et formant en ce point un angle aigu qui est l'angle de contingence géodésique e^ de la ligne aa^ dont nous désignerons l'arc élémentaire par ds. Le triangle infinitésimal iaa, donnant la

/> (Is . sin n

on voit que la position du point / sera déterminée si Ton parvient à une seconde expression de l'angle i. Or il suffit, pour la trouver, de recourir à une méthode déjà employée, en assimilant d'abord le quadrilatère sphérique iata^ à une portion de zone , et en évaluant directement ensuite l'aire de ce quadrilatère. On obtient ainsi l'égalité

' ( I — ces ia ) =^ i

/> e^r-h da

dû.

COS/fl

dont la comparaison avec la relation (a) fournit la formuh cherchée

tang ai = sina ,

?»+ da

Si l'on suppose, en outre, que par les mêmes points de la ligne aai on mène des arcs de grand cercle perpendiculaires aux précédents et se coupant en //, on voit aisément que la position-limite de leur' intersection est donnée par la formule

tang «rt = cosfl .

a el da ayant les mêmes valeurs numériques et 1

e même signe

que dans la formule (i) : nous ferons dans la suite un usage irès-fréquent de ces formules.

Examinons, en particulier, le cas où les arcs ai coupent la ligne aai sous un angle constant : da sera nul dans la formule (14)7 -- représentera la tangente trigonométrique de

Tare «a' normal à la ligne donnée et terminé à sa développée ;

et l'on aura

tani;c// = sin^, tangort',

fanga/= tang^rt' .cos/(7rt',

qui démontre que le triangle iaa est rectangle en /. Donc, ^r' par chacun des points d une ligne sphérique on mène un arc de grand cercle coupant cette ligne sous un angle constant , le point où Tun de ces arcs touche son em'eloppe s'obtient en abaissant, du centre de courbure géodésique correspondant de la ligne proposée ^ un arc de grand cercle normal à lare considéré . On a, comme on sait, une construction analogue pour les courbes planes (Réaumur)^ et la détermination du centre de courbure géodésique de la loxodromie présente une application inverse de cette construction.

31, De C enveloppe sphérique d'une série d'arcs de grand cercle^ dans le cas oit chacun de ces arcs est défini par deux de ses points. Hayon de courbure d'une roulette sphérique y applications diverses.

Soit aba' un arc de grand cercle mobile , et supposons que son mouvement sur la sphère à laquelle il appartient soit défini par les mouvements simultanés de deux de ses points a et b^ qui décrivent dans le même temps les arcs très-petits ««j et hbi : l'arc mobile occupant dans 1 instant suivant la position Uyhi. La limite du point d'intersection a! des deux arcs infiniment voisins ab^ «i Z?i, c'est-à-dire le point où l'arc mobile ab touche son enveloppe, s obtiendra (comme dans le cas analogue du problème relatif à l'enveloppe plane d'une droite mobile) par la comparaison des triangles a'aoi, a'bb^ : ces tri-

SrHÉUIQUES.

angles

doi

iinent

, eu effet , ■^-, aa,.smn

; bb^. sin b

a =— r TT

sin a' b

sin a' a

d'où

sinfl'a

aa, siurt

sina' b

bb, sin/»

Considérons d'une manière spéciale la roulette sphériquc aai engendrée par le point a invariablement lié à la ligne b'b\ qui roule sur la ligne fixe bbi'^ la ligne fixe, la ligne et le point mobiles appartenant à une môme sphère : et regardons les lignes fixe et mobile comme des polygones spliériques de côtés infiniment petits et égaux deux à deux ; l'angle extérieur de deux côtés consécutifs de l'un de ces polygones pouvant être pris, à la limite , pour l'angle de contingence géodésique de la ligne correspondante.

Cela posé, les deux polygones étant actuellement en contact suivant les éléments b^b, b\ b' ^ le mouvement de la figure mobile dans l'instant suivant cojisistera en une rotation s'effec-

tuant autour du diamètre o^, et eu vertu de laquelle le point mobile décrira un petit arc de cercle ««j, ayant pour pôle le point b 5 l'angle

décritaè«, étant égal kbibb\ , e'est-à-dire à e^ ± e^ : par suite, en posant ba = p^ bbt = b'b\ =zds^ et désignant par r„, r^ les rayons de courbure géodésique en ^, b' des lignes fixe et mobile, on aura

bb, = ds.

= (^^±4) sinp = r/^ (7 — Z ) ^'"^'

d'où

hb,

sin p.

On voit d'ailleurs que les arcs ab-, a^b^ sont normaux à la roulette en «, ay\ et qUe, ces deux arcs allant se couper au

point a', la limite de aa' est le rayon de courbnre sphérique de la roulette en a : nous le désignerons par 0, et Jious appellerons Y rinclinaison de l'arc ab sur la ligne fixe hb^. Or, la comparaison des formules (Z>) et [b') donne, en remplaçant sin« par i et sinZ» par sinV. la formule cherchée

sin (9 — pj \/v /•. / sinV dont nous allons faire quelques applications.

i). Que l'on considère en particulier la cycloïtle sphérique engendrée par un point de la circonférence d'un petit cercle de rayon sphérique R roulant sur un grand cercle de la sphère : on aura d'abord , en posant r^ = oo , '^ = tangR,

sm(e — p) smV.tangR

Si Ton abaisse ensuite du pôle du petit cercle un arc perpendiculaire sur le rayon vecteur p et divisant ce rayon en deux parties égales, on aura dans le triangle sphérique résultant

sinV= rotR

.tang'-,

sinV

. tangR = tang- :

d'où, en substituant dans la

formule

précédente,

sinô

sinf

2COS'

'| = I+COSp.

sin(0 —

^'^ tang

déduit de cette

dernière

inrrQ

sinp

COSp)

I — COSp — COS'p

Cette formule a déjà été donnée par Gudermann [Grundriss der analytischen Sp/icirik, p, 46), mais sans construction 5 et sous sa forme actuelle elle en parait, en effet, peu susceptible. Toutefois, si Ton calcule au moyen de cette formule la valeur de tang(0 — p) , on trouve, toutes réductions faites, cette équation très-simple :

[jr,) tang(9 — p) = sinp,

DES LIG:JiES 3PHÉRIQLES. 53

qui conduit à la construction suivante : Sur le nijon vecteur sphcrique p, qui joint le point décrivant nu point de contact actuel du cercle mobile sur le grand cercle fixe, construire un triangle rectangle dont l'angle droit soit adjacent au point de contact, l'angle adjacent au point décrivant étant de 45 degrés j et rabattre le second côté de Vangle droit de ce triangle sur le prolongement du premier^ l'extiémité de cet arc rabattu est le centre de courbure sphéricjue de la cycloide, au point considéré.

2). Considérons encore, avec BernouUi et Clairaul, l epicycloïde engendrée par un point d'un grand cercle de la sphère roulant sur un petit cercle fixe.

Le lieu des intersections successives du grand cercle mobile est ici, abstraQtion faite du petit ceicle directeur, un petit cercle symétrique du premier par rapport au centre de la splière; et, comme le grand cercle mobile représente, dans Tune quelconque de ses positions, le grand cercle normal à l'épicycloïde ou le grand cercle tangent à sa développée, on voit que cette développée est un petit cercle de la sphère : et répicycloïde elle-même, d'après un lliéorèmc démontré, est une hélice sphérique dont Y axe est perpendiculaire au plan du petit cercle directeur, c'est-à-dire une courbe rectifiablc ^ comme toutes les liélices. On retrouve ainsi, mais d'une manière intuitive, et en donnant un nom à la courbe, le seul cas, déjà rencontré par BernouUi et Clairaut , où une épicycloïde sphérique soit reclifiable [Mémoires de V Académie des Sciences^ i^Sa).

3). Problème. Trouver sur la sphère la ligne dont le rayon de courbure sphérique est double de l'arc normal terminé à un grand cercle fixe.

Regardant . à cet effet , la courbe cherchée comme une roulette décrite par un point a invariablement lié à une courbe, de nature inconnue, et qui roulerait sur le grand cercle fixe dont il s'agit, nous ferons dans la formule (B)

et il viendra

sinas 1 sinp i sin- p

d'où

sinp J-g sinV Vg sin/!> " acosp.sm^

Il • ^ o 1 , , i / sinprfo

dont la comparaison avec Ja formule eeneraie /„ = — - — -

^ s cl.smp

fournit enfin l'équation différentielle de la courbe auxiliaire

cherchée ,

sinp.c/& sin^o 2cosp.r/o d.sinp

~j-^. = ^r— 5 ou r^^ '- = — ^ ,

fl . smp 2 ces p sm p sin p sin p

d'où

sin^p = C sinyw, ou

{x;) sinp = CsinV.

Si Ton rétablit dans cette formule l'indétermination deTu" nité de longueur, et si l'on suppose ensuite que le rayon de la sphère augmente indéfiniment, elle devient à la limite p = C'sinV et représente une circonférence passant par l'origine des rayons vecteurs. La courbe correspondante sur la sphère est beaucoup moins simple, et son équation on p et w ne peut être obtenue en termes finis que dans le cas où la constante C est égale à l'unité, auquel cas on trouve

e (tangy —

4). Problème de Cardan sur la sphère. Tromper la ligne sphérique qui en roulant sur un pelit cercle donné engendre, par un de ses points, ou par un point qui lui est lié invariablement, un grand cercle de la sphère.

Si on modifie la figure sphérique déjà employée, de manière que les lignes sphériques fixe et mobile soient dans les mêmes relations de position que les deux cercles du théorème de Cardan, on aura l'équation

sin 9 / I I \ sin p

sin (0 — p) ~ y-g r^j sinV "

DES LIGJNES SPHÉRIQt ES. 55

l'aisaiit dans «elle éciuation 6 = -,ô — p =z n, el résol-

\aiit par rapport à -, ? il vient

sinV I s\nu

rg. r„ sinp.COS|0 r„ sin^pCOSp

/g désignant le rayon de courbure géodésique du cercle fixe, /g la grandeur analogue pour la ligne mobile cherchée ; et p et p les coordonnées, déjà employées, d'un point quelconque de cette ligne, prises par rapport au point décrivant, considéré comme origine. Si Ton remplace enfin dans la dernière formule ~ par -T-^ — V-' on obtient cette équation ditlérentielle de r^ ^ smp.ap ^

la courbe cherchée

(l.&inp sin/? I

sinp.rfp sin^p.cosp r^

que Ton peut écrire

en posant

sin/5 = V, cosp = X.

Or, celte dernière équation étant linéniie^ on trouve en l'intégrant

et l'on en déduit v(^i\.e première équation de la courbe cherchée

, ^ . sino tantro

[Xij sin/>= — i 2^-}-Ctangp.

Dans le cas où la sphèn,' se transforme en un plan, on a

et, en supposant nulle la constante C,

56 PKEMlkuE PARTIE. CHAPITRE TROISIÈME.

qui représente un cercle décrit sur l'un des rayons r du cercle fixe comme diamètre. Il en résulte que le théorème de Cardan renferme seulement une solution particulière du problème général.

Supposant pareillement nulle la constante C de l'équation (xs) relative à la sphère, il vient

sin^û siri-p sin-p

sm-V=-i '-—■> -r~, '—j:=- 1, p^ = rgCOS,'p — sm^p;