gCOS^p sin^^p -h p^ r^cos-p

ou

Vr^cos^p — sin^p

dont rintégration ne peut s'effectuer algébriquement.

Si l'on suppose que la base de la roulette soit un grand cercle, ou, si l'on pose r„ = oo dans la formule (x^) , elle devient

(x'j ) sinp = C langp.

Si la constante C est inférieure à l'unité, cette équation représente la développée sphérique d'une loxodromie [voirpa^e 44, formule {f')^- Et la courbe qu'elle représente, dans le cas le plus général, se transforme en une spirale logarithmique quand le rayon de la sphère augmente indéfiniment.

5). L'élégante méthode à l'aide de laquelle M. Bresse a pu résoudre d'une manière complète le problème de la construction du rayon de courbure , pour une classe très-élendue de courbes mécaniques planes, repose, abstraction faite de toutes considérations de cinématique, sur ces deux théorèmes de géométrie ;

Dans le mouvement d'une figure p/a/ie, et à une époque quelconque de son mouvement ^

1°. Les cetitres de courbure des lignes enveloppées par les diverses droites de la figure mobile, aux points oii ces droites les touchent actuellement ^ sont distribués sur une première circonférence ^ passant par le centre instantané actuel de rotation^ et tangente a In ligne décrite par ce centre;

DES LIGNES SPHÉRIQUES. Sy

2°. Les points de lajigure mobile dont les trajectoires ont actuellement un rayon de courbure infini^ sont également distribués sur une seconde circonférence , symétrique de la première^ par rapport au centre instantané de rotation.

Le mouvement d^une figure sphérique sur la sphère à laquelle elle apparlient, présente-t-il des propriétés analogues?

Cherchons d'abord, pour répondre à cette question, le lieu des points de la figure mobile qui décrivent actuellement des arcs de grand cercle^ ou dont les trajectoires ont actuellement un rayon de courbure géodésique infini. Il suffit pour cela de faire

6=-, sinô^i et sin(Ô — pj— ;cosp,

dans la formule (B)^ et Ton trouve ainsi, en remplaçant V

par w 5

I ds

[xA sinpcosû = Csinw, C = =r — — ,

' "^ "^ 1 , I rfw

pour équation de la courbe cherchée, cjui n'est pas un cercle comme dans le plan, mais bien une courbe du troisième degré représentée, suivant le système de coordonnées de Gudermann , par cette autre équation

{.t\) ( tang'Ç 4- tang-/î) (i — C tang n] — C tang -/î = o.

En second lieu, il est facile de voir que sur la sphère il n'existe plus, comme dans le plan, une courbe spéciale lieu géométrique des centres de courbure sphérique des lignes enveloppées par les divers grands cercles de la figure mobile; et c{ue ces centres peuvent couvrir la sphère tout entière : le centre de courbure de la ligne enveloppée par un grand cercle quelconque coïncide, en effet, avec le centre de courbure de la trajectoire décrite par le pôle de ce grand cercle; et les centres de courbure des diverses enveloppes sont, par suite , disséminés d'une manière quelconque sur la sphère, exactement comme les centres de courbure des trajectoires correspondantes.

58 PUEMlkUE l'ARTlE. CIJAl'lTKE TUOISIEME.

Néanmoins, si l'on sait qu'un grand cercle de la figure mobile tourne autour d'un point fixe , son pôle décrivant un grand cercle, on connaîtra un point de la courbe

sinp cosp = C sin w,

qui est complètement déterminée par la connaissance de trois de ses points, et que Ton pourra utiliser, quoique avec beaucoup moins d'avantage que la circonférence qui lui correspond dans le plan, pour la construction du centre de courbure sphérique de la trajectoire d'un point quelconque de la tîgure mobile.

licniarque I. Si on pose, dans la formule (B) ( i'o;/page 52),

doù

sin (G — p ) = I t't sin fi = cos p, on trouve 1 équation

sin oj = ( — ± — ) tango :

elle représente une ellipse spliérique, capable d un angle droit, et dont ïaxe hypoténuse est normal à la ligne des centres instantanés de rotation; et cette ellipse d ailleurs est le lieu géométrique des points de la figure mobile dont les centres de courbure des trajectoires sont situés à 90 degrés du centre instantané de rotation. La courbe actuelle présente donc des analogies géométriques plus intimes avec la circonférence, lieu des points sans accélération centripète, employée par M. Bresse; et se transforme aussi en cette circonférence, (|uand le rayon de la sphère augmente indéfiniment.

Remarquai II. Las points de la figure mobile situés sur r ellipse spliérique , capable d\in angle droit., et ayant pour axe hypoténuse le rayon de courbure spliérique de la ligne mobile, ont leurs centres de courbure spliérique distribués sur une seconde ellipse .f de même nature que la précédente, et ayant pour axe le rayon de courbure sphérique de /rt ligne

DES LIGjSES Sl'HÉRIQUES. Sp

fixe : en appelant ligne fixe la courbe des centres instantanés de rotation , et ligne mobile la courbe qui , en roulant sur la première, produirait le mouvement considéré de la figure primitive.

Sur ch\'ers usages du principe de dualité qui résulte^ sur la sphère, de la théorie desjigures supplémentaires.

32. Le principe de dualité qui résulte, dans la géométrie de la sphère, des propriétés des figures supplémentaires, est connu depuis longtemps, et on en a tiré déjà un parti considérable pour l'étude de divers lieux géométriques, et de certaines courbes enveloppes.

Il nous parait toutefois que l'on n'a guère considéré jusqu'ici dans ce principe que luii des aspects qu'il présente, et d'après lequel, à chaque horizon découvert dans une première exploration géométrique, correspond un second horizon, aperçu seulement par les yeux de l'esprit, et n'ayant exigé aucun eiïort, aucun déplacement nouveaux. En d'autres termes, on a vu surtout dans ce principe un précieux moyen de multiplication des vérités déjà acquises, sans apercevoir peut-être, dune manière assez nette , qu'il présente aussi un mode remarquablede transformation à l'aide duquel un problème de géométrie infinitésimale se ramène , dans un grand nombre de cas, à un problème de géométrie finie : la méthode infinitésimale intervenant seulement, et une fois pour toutes, dans l'établissement des liaisons existant entre deux lignes supplémentaires : les problèmes suivants nous offriront divers exemples de cette transformation.

33. Considérant une courbe quelconque niin\ l'arc tangent en un point m de cette courbe, et les arcs fp., f'p\... menés des foyers donnés/",/'... perpendiculairement au premier-, les arcs pfet p'J', prolongés, se coupent en un point M qui est le pôle de l'arc tangent pmp' ctqui appartient à la courbe MM'. supplémentaire de la proposée . les points m et M étant d'ailleurs

6o . PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE TROISIÈME.

deux points correspondants de ces courbes. Si donc, posant

yp=P, f'p' = p\...y ou cherche à définir la ligne sphérique dont l'arc tangent en chaque point possède la propriété exprimée par l'équation

? [Pi /*'> • • • ) = constante,

la ligne MM', supplémentaire de la ligne cherchée, sera définie par l'équation

p, p',.., désignant les rayons vecteurs /M, /'M,... complémentaires des arcs/^, /^',

a). Théorème I. w, m\... désignant des coefficients constants , la courbe représentée par V équation

(i) m . ûnp -4- m' . sin// + . . . = constante,

est un cercle. La courbe supplémentaire est, en eilet, délinie par l'équation

(i') m .cosp + w'.cosp'H-. . . =: constante,

qui représente un cercle, comme on Ta vu précédemment ( voir page 26, n" 3 ) .

b). Théorème II. La courbe

est un cercle.

La courbe supplémentaire est, en effet, définie par l'équation

. p sm-

[2 ) cr: constante,

sin -

([ui exprime que le rapport des dislances rcvfdignes d un point

DES LIGNES SPHÉRIQUES. 6l

quelconque de la courbe aux deux foyers /, /' est constant : cette courbe est donc un petit cercle, intersection de la sphère proposée et dune seconde sphère, dont le centre est quelque part sur la droite J^'.

c). Théorème III. La courbe