COS P
(3) ^ = constante
^ ' COS
est une ellipse sphérique, enveloppe d'un quadrant dont les
extrémités glissent sur deux grands cercles donnés : la courbe
supplémentaire
sino (3 ) -7— S — constante
^ ' sinp
est, en eiTet, une ellipse sphérique, capable d'un angle droit (Vannson, Nouvelles annales de Mathématiques ■ i858, page 253).
d). Théorème IV. Lacourbe
(4) yp -h /»'= constante
est une ellipse sphérique : la courbe supplémentaire est en effet l'eprésentée par Féquation
(4') p -h p'=: constante,
qui est Tune des définitions de l'ellipse sphérique- et l'on sait que l'ellipse a pour supplémentaire une autre ellipse. e). Théorème \. La courbe
(5) sin/i.sin/?'=±: constante
est une ellipse, ayant pour foyers les points f^j' .
Prenant, en effet, comme dans le n° c), le milieu de l'arc ff = 2C pour origine des coordonnées polaires /■ et oj , on a pour la courbe supplémentaire,
cosVcos-c — sinVsinVcos^w = /% cos-c — sin=c.tangVcos'w = Â^ (r H- tang-/);
ou, en remplaçant tang^/'cos'o) et tang^r par tang*^ et tang^ I -h tang- n respectivement ,
(5') (X^+ sin-f ) tang'ç 4- /- tang-iQ ;= cos'c — X- :
6'i PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE TROISIEME.
Equation d'une courbe du second degré ou d'une ellipse sphérique, d'où Ton déduirait aisément l'équation de l'ellipse primitive, de manière à constater que cette dernière a précisément pour foyers les points /^ Gtf.
Observation. On pourrait aussi étudier directement plusieurs des courbes précédentes, en employant d'une manière convenable les formules
r„=~-^. — ^, cosV=±— ^• rt.sin/? ds
Reprenons, par exemple, la courbe
[s) sin/j sin// = constante,
et désignons par p et p' les rayons vecteurs qui joignent un point quelconque de cette courbe aux deux poinlsyety. On a cette double expression du rayon de courbure géodésique de la ligne cherchée,
sin o.r/o sin r/.r/o'
ci.sinp a.sinp
d'où
, . sino.r/o . , sino'.do' d.smp = — ■ '- et d.sinp == — ■ -:
et si l'on porte ces valeurs dans l'équation différentielle
ci.s\np d.sinp'
s\np sin/v
déduite de l'équation (5), on trouve, successivement,
sino.r/o s'\n fi', ci f/ do dp'
ûx\p sin/;»' ' sinV sinV
ds. co%Y , ds. cosV ^^ , ,,,
+ — : — = o, tanf, V = ± tang \ :
smV
rosV ^dzcosV,
: o, OU d o^ftZ dr/ z= o:
sinV
on
donc aussi
ou
ds ~
do'
DES l.IGAES SPHÉRIQUES. 63
d'où enfin
prh p'= constante,
qualion d'une ellipse spliérique.
34. De la ligne spliérique ayant pour podairc un grand on un petit cercle.
La podaire d'une ligne spliérique quelconque, relativement à un point o pris arbitrairement sur la surface de la sphère, et la supplémentaire de cette même ligne, sont deux courbes à rayons vecteurs complémentaires, l'origine de ces rayons étant au point o : il en résulte, en prenant le centre de la sphère pour point de vue, et le plan tangent en o pour plau du tableau, que les perspectives de ces deux courbes forment deux lignes planes à rayons vecteurs réciproques, ou simplement deux lignes réciproques par rapport à l'origine o; et ces relations entre la podaire et la supplémentaire d'une ligne spliérique permettent de résoudre d'une manière très-simple les problèmes suivants :
a). Problème I, La podaire étant un grand cercle^ trouver la ligne primitive.
Solution. La perspective de la ligne cherchée est une ligne |)lane dont la podaire relative au point o est une ligne droite; c'est donc une parabole ayant le point o pour foyer : et la ligne cherchée elle-même est une conique spliérique ayant l'un de ses foyers au point o. D'ailleurs si on veut la définir avec plus de précision, il suffît de remarquer que la podaire et la supplémentaire de la ligne cherchée se projettent suivant deux lignes réciproques par rapport à l'origine o. Or, la projection de la première étant , par hypothèse, une ligne droite, la pro-* jection de la seconde est une circonférence passant par l'origine; et la supplémentaire de la ligne cherchée est l'ellipse sphérique, capable d'un angle droit, dont le point donné o et le pôle du grand cercle podaire sont les extrémités de l'axe hypoténuse. La ligne cherchée est donc enfin la conique sphérique, envelopjm d'un quadrant dont les extrémités glis-
sent sur deux grands cercles donnés, et son équation est tang.r. tanij) == — -, -,
les deux cercles directeurs étant pris pour axes.
b). Problème II. La podaire étant un petit cercle, trouver la ligne primitive.
Les projections, siir le plan tangent à l'origine o, de la podaire et de la supplémentaire de la courbe cherchée, sont, la première une conique plane , la seconde la réciproque de cette conique, ou une courbe plane du quatrième degré. Il en résulte que la supplémentaire de la ligne sphérique cherchée est également du quatrième degré , la ligne cherchée étant dès lors d'un degré supérieur au second.
35. La substitution de la courbe supplémentaire à la courbe primitive ne peut être d'aucune utilité dans la recherche de la développée d'une ligne sphérique, car deux lignes supplémentaires ont même développée sphérique. Mais on peut alors substituer à la recherche de la développée celle de la courbe supplémentaire de cette développée : et il est facile de voir que cette dernière recherche constitue un problème de géométrie finie, ou n'exigeant du moins que la solution du problème des tangentes.
Que l'on mène en elïet par chaque point d'une ligne sphérique un arc de grand cercle tangent à cette ligne, et que l'on prenne sur cet arc à partir du point de contact une longueur égale à un quadrant. Entre la ligne primitive et la courbe décrite par l'extrémité de cet arc, que nous avons déjà appelée V indicatrice de cette ligne, existeront les relations suivantes :
i". L indicatrice peut être considérée comme le lieu des extrémités des rayons de la sphère parallèles aux tangentes rectilignes de la ligne primitive;
2°. L'indicatrice et la développée de la ligne primitive sont deux courbes siipplémentaiics.
DES LIGKES SPHÉRIQUES. 65
La recherche de l'hélice sphérique nous a fourni une première application de ces relations : nous allons voir qu'on en déduit, très-simplement aussi, l'équation de la développée de l'ellipse sphérique, déjà obtenue par Gudermann [Spharih, page 92).
Soit (t, y) un point quelconque d'une ellipse sphérique
rapportée à son centre et à ses axes; a et b, x et j désignant les tangentes trigonométriques des demi-axes de la courbe et des coordonnées axiales du point considéré. Le point correspondant (jTi, Yi) de l'indicatrice étant situé sur l'arc tangent à l'ellipse en «, et sur le grand cercle ayant pour pôle le point a (x, /)•, on a, pour déterminer les coordonnées :<^i, ri de ce point, les équations
d*où, en posant
On en déduit d'abord cette équation de l'indicatrice
et son grand cercle tangent est représenté, toutes simplifications faites, par l'équation
Or, ce grand cercle ayant pour pôle le point correspondant (^, y}) de la développée, son équation peut être identifiée à
66 iniEMIFKE T'ARTIE. CHAPITRE TROISIEME.
< flic du i;ran(J icrcle polaire de ce point
et il lésuhc d'abord de celte identification,
d'où
Et la substitution de ces valeurs dans Téqualion (i) donne enfin
fi'V\' fh'-
pour équation de la développée de l'ellipse spliérique. L;j courbe (3) a même développée sphérique que l'indicatrice (2), Mais, tandis que celte dernière est seulement du quatrième degré, la développée de l'ellipse est du sixième.
De quelques propriétés nouvelles des coniques sphériques [*]
36. Si l'on rapporte les difFérents points M d'une sphère à deux grands cercles fixes OX, OY, et que, prenant sur chacun d'eux, à partir de l'origine O, les arcs OX, OY égaux à un c[ua-
drant, on mène les arcs YM, XM coupant respectivement OX, OY en P, Q, les arcs OP = H , OQ = -n seront les coordonnées
(*) Toutes les propriétés qui suivent ont été communiquées à la Société Philomathique, le 22 mai i858, et se trouvent reproduites dans son Bulletin. La livraison de juillet i858 des Nouvellfs Annales de Mathématiques renferme, sur le même sujet, un article de M. Vannson, qui est parvenu, de son côté, et par une voie toute différente de la nôtre, à quelques-unes de nos propositions.
DES l.IGKES SPHÉUIQtES. 6y
axiales du point INI; et les tangentes trigonométri(jues de ces arcs
j:=tangÇ, }=langyiv
seront les coordonnées sphériques de ce point, suivant la définition de Gudermann [Sphàn'k, page i ) : une ligne spliérique MM' étant dite, en outre, du n'^'"'' degré, quand les coordonnées sphériques de chacun de ses points satisfont à une même équation/" {x,j') == o, algébrique et du degré n.
37. Si preuaut le centre de la sphère pour centre de projection, le plan tangent à l'origine O des axes curvilignes OX, OY pour plan de projection, on projette centralement le point M eu ni-^ et que Ton rapporte le point projeté m aux axes rectilignes Ox, O^ respectivement tangents aux axes curvilignes précédents OX, OY : on reconnaît sans peine que les coordonnées rectilignes du point m sont lespectivement égales aux coordonnées sphériques de même nom du point M ; d'où cette conséquence intuitive qu'une ligne sphéricjue du second ou du n'''""' degré appartient à un cône du second ou du «"■'""' degré: concentrique à la sphère et ayant pour base sur le plan tangent à l'oi'igine O une courbe plane du second ou du /î"^'"" degré-, une ligne sphérique du premier degré étant un grand ceicle.
38. A une conique plane a^y^ -\- h- x' — ci^b" = o , située dans le plan tangent en O, ayant pour grand et petit axes 2 a et ib et dont le centre est en O, correspond une conique sphérique représentée par la même équation, ayant pour centre le point O^ et dont les axes 2 a et 2(3 sont définis par les équations
tangac=(7, tangp=r/;
On sait d'ailleurs que cette courbe peut être engendrée par le mouvement d'un point M dont la somme des distances sph('riques à deux foyers fixes F, F' demeure constante et égale au grand axe 2a. Les deux foyers étant situés sur le grand axe, de part et d'autre du centre, et à une distance y de ce dernier,
68 rr.EMiÈr.E pautie. — chavithe troisième.
diMinie par l'équation
ces a --= CCS P CCS 7.
39. Iljie conique sphérique quelconque a toujours trois centres, un centre intérieur et deux centres extérieurs; son équation peut toujours, par un changement d'axes, être ramenée à la forme précédente; et, par suite, toute conique sphériqûe admet au moins un système de deux foyers. Toutes ces propriétés, et ])eaucoup d'autres que, pour l'objet que nous avons en vue, il serait inutile de rappeler, sont aujourd'hui fort connues, grâce aux travaux de MM. Chasles, Gudermann et Borgnet. La méthode particulièrement élégante suivie par l'auteur de V Essai de Géométrie, analytique sphériqûe (Tours, 1847)-, consiste essentiellement à substituer à une ligne sphériqûe rapportée à un point O de la sphère, la projection centrale, ou perspective, de cette ligne sur le plan tangent en ce point; le centre de projection, ou point de vue, étant au centre de la sphère : ce mode de transformation possédant d'ailleurs plusieurs propriétés remarquables. Les plus importantes, et en même temps les plus intuitives, résident dans l'égalité déjà mentionnée des coordonnées sphéiiques et rectilignes de deux points correspondants rapportés à des axes passant par l'origine; dans la consej'i'ation des lignes géodésiqucs et dans celle des pôles et polaires relatifs à uiu' courbe du second degré : ce sont du moins les seules qui aient été employées par M. Borgnel. Il en existe cependant quelques autres, un peu plus cachées, que nous allons exposer; et qui noiis ont conduit à plusieurs propositions nouvelles, paraissant clore la série des analogies déjà constatées entre' les coniques planes et sphériques.
40. Lemme I. A deux grands cercles de la figure sphériqûe^ perpendiculaires entre eux et dont l'un passe par l'origine O^ correspondent, dans ^a projection centrale sur le plan tangent en O, deux droites perpendiculaires entre elles.
DES LIGNES Sl'HÉlVIOUES. 6'y
41 . Lemme II. Le rapport des sinus des disUinces sphéri(/ue^ dun point M ti Vorigine O ctji un grand cercle fixe UD',
Fig. 22.
est égal au rapport des distances de sa projection m à la même origine O et à la droite correspondante tkF, mulliplié par un coefficient constant; la valeur de ce coefficient étant indépciulanle de la position du point M.
Abaissons, en efiet, OD, Oa^ peipendiculaires sur lare DD' et sur la droite dd' , me-
nons MD, .nid-^ et projetons le point O on H et // sur IMD et md. On aura
sinMO i sinMP""
sinlMO inO sin MP * m p
niO tangOr/w tangO<^//// 1)1 /> sinr/O/H sinDOIM
tarif,' OOH tangODH TâôgOdJî ~ cotdO/i
^=z constante.
= tangODH.tan-DOIl
cosOD
12. Lemme III. Si un point O est tel que le grand cercle joignant ce point à un point quelconque Y)' de sa polaire
DD relative à une conujue sphérique C soit perpendiculaire à la polaire du point D', prise par rapport à la même conique ; le point O coïncidera nécessairement avec l'un des deux foyers de la conique considérée.
On reconnaît d'abord que le point O est situé sur Tun des axes, CA par exemple, de la conique considérée; sa polaire relative DD' étant dès lors perpendiculaire à cet axe : soient posés
CA r- y., CÏÏ = fi; CO = 7', CD r=: fî',
y' et d' étant liés par la relation
tani,"
tanj^'-a
~ fan^'7'
Fifr. 2:i.
) PREjMIEP.E partie. CHAPITRE TROISIEME.
Si l'on mène l'arc tangent au sommet B de la courbe, rencontrant en D' la polaire du point
O, et que Ion mène OB, OD', ces
deux arcs seront perpendiculaires
entre eux, et les angles BOC, D'OD
seront complémentaires. D'ailleurs
l'arc D'B, prolongé, allant couper
l'axe AA' en P, ce point P est situé à 90 degrés du centre C,
et l'angle en P du tiiangle PDD' est mesuré par l'arc BC = (3.
Cela posé, dans les triangles rectangles OCB, ODD', PDD'
les sinus de OC, OfJ, PD sont respectivement égaux aux produits des cota?}genles des éléments adjacents; et l'on a, après avoir multiplié membre à membre les deux premières des trois égalités lésultantes, et en conservant la troisième,
sin 7' . sin ( 'J' — y' ) — tar.g DD' . tang BC = tang DD' . tang fi,
sinPD ou coso' = tang DD'. cet P = tang DD' cet jii:
d'oii, en divisant membre à membre,
smy
cos S'
tang^ p,
sin 7' ( tang 0 . ?os 7' — sin 7') =r tang' p.
Enfin, la substitution de sa valeur («) à tangj', et quelques transformations conduisent à la relation
( .T ) cos a = cos p . cos 7'
(pii démontre la coïncidence du point O avec l'un des foyers.
^S. Lemme IV. Dans toute conique spliéiique^ le rapport
ries sinus des distances sphériqnes, au foyer O et à sa polaire
relative DD', de Vune des extrémités A ou A! de V axe focal,
est égal au rapport analogue par l'autre extrémité.
,,, ,. ,sinAO siiiA'O . or ^ ^
L égalité -^ — —- = -^ ■— exprime en etiet que les rayons de
'=' sin AD sinA'D ^ n J
la splière qui aboutissent aux sommets A et A', au foyer O et
DKS LIGNES spiiicKiQi r:s. ni
au pied D de sa polaire relalive sur l'axe, foiiiienl un faisce.iu liarinouique : on que les traces de ces rayons sur le plan tangent en O déterminent nn système de quatre points conjugués liarinoniquement. Or cette propriété, ayant lieu quelle que soit la position du point O sur Taxe A A', a lieu, en particulier, pour chacun des foyers.
