III

A:'i. PiiOBLÎLME. Trouver sur la spliè/c le lieu géomélriqua (les points M dont les sinus des dislances sphériques à un point O et à un grand cercle fixes, sont dans un rapport constant.

Solution. La projcclion nu)i' de la courbe cherchée sur le plan tangent en O pourra être considérée, d'après le lenime 1\] comme le lieu des points ni dont les distances au point O et à la droite fixe dd' (projection du grand cercle DD') sont dans un rapport constant : cette projection est donc une conique plane, et la ligne primitive est une conique sphériqvic. D'ailleurs, dans la projection, la directrice dd' est la polaire du foyer O, et la droite joignant celui-ci à un point quelconque d' de sa polaire est perpendiculaire à la polaire de ce point d' . Les mêmes dépendances existent donc dans la figure spliérique entre le grand cercle directeur DD' et le point O; et par suite, d'après le lemme III, le point O est l'un des foyers de la conique sphérique, le grand cercle DD' étant de même la polaire du foyer relative à la conique. On a donc ce théorème:

Théorème L Le lieu des points de la sphère dont les sinus des distances sphériques à un point et à un grand cercle fixes sont dans un rapport constant, est une conique sphérique dont lun des foyers est au point fixe, et pour laquelle la. polaire de ce dernier coïncide avec le grand cercle directeur.

45. TnÉoRiîME II. Réciproquement , toute conique sphérique C présente cette propriété que les sinus des distances sphériques d^in point quelconque M de la courbe à. Vun des foyers O , et au grand cercle DD' qui est la polaire de ce foyer, sont dans un rapport constant.

Démonstration. Considérons, en effet, indépendamment de la conique C, une seconde conique C qui serait le lieu des points M' dont les sinus des distances sphériques au point O et au grand cercle DD' sont dans un rapport constant, égal au rapport analogue pour F un des sommets A ou A', de Taxe focal de la conique C. Cette conique C aurait en commun avec la conique proposée le foyer O, d'après le théorème précédent, et les deux sommets A , A' de Taxe focal, d'après le lemmel\ *, mais ces conditions entraînent évidemmentla coïncidence des coniques C, C; et le théorème est démontré.

Corollaire I. La perspective d'une conique sphérique sur le plan tangent en l'un de ses fojers a même foyer que cette conique, et sa directrice est la perspective du grand cercle directeur de la conique sphérique : et réciproquement.

Corollaire IL L'équation d'une conique sphérique ^ rap~ portée à l'un de sesjojers, peut prendre l'une quelconque des formes suivantes ^

tango := m tang ? -f- « tang n -\- p = mx -h ny -{- p.

Réciproquement, toute équation de l'une de ces formes représente une conique sphérique dont l'un des foyers est à l'origine; le grand cercle directeur relatif au foyer origine étant représenté par l'équation

m tang c -h n tang yj -r- p =: o, ou mx -\- ny -\- p = o.

La proposition directe avait seule été établie par Gudermann. [Spharihy pages 78-80.)

Remarque. Le théorème I peut être établi directement, Fig- 2'|. au moins quant à la nature de la courbe

décrite par le point variable M, de la manière suivante. La relation donnée

sin MO

= A = constante

sin MP