DES LIGNES SPHÉRIQUES

peut être remplacée par celle-ci sin MO

cos Mp

p désignant le pôle du grand cercle directeur DD'. Or, en posant OM := o, MOp = w, Op = y', on a

cos Mp = cosp cos 7' -f-sin p . sin'/' . cos w; et l'on en déduit successivement

sin p = A cos 7 ' cos p + /- sin 7 ' sin /^ . cos w , tang p = l- cos 7 ' H- ^ sin 7»' . tang p cos w ; tangp = /• COS7 ' -h /- sin 7 ' tang ^ = m + n tang '£, :

équation d'une conique spliérique.

46. De la parabole sphérique. La nature du lieu des points M de la sphère, également éloignés d'un point O et d'un grand cercle fixes, peut être obtenue immédiatement en remarquant que la somme des distances spliéricjues d'un point du lieu au point O et au pôle p du grand cercle fixe est égale à un quadrant. La courbe considérée est donc une conique sphérique dont le point O est un foyer, le second foyer étant le pôle p du cercle directeur, et le grand axe de l'ellipse étant égal à un quadrant : or c'est précisément à cette courbe, dont l'équation peut se ramener à la forme j^ = ipx. qu'on a déjà donné le nom de parabole sphérique 5 et cette coïncidence complète la série des analogies que présentent, au point de vue des foyers et des directrices, les coniques planes et sphériques.

■47. Théorème IIL Le lieu décrit par le sommet. d\in angle droit circonscrit à une parabole spliérique se compose de deux grands cercles : les cercles directeurs relatifs aux deux foyers.

Démonstration. Les considérations géométriques que l'on emploie pour établir la propriété analogue de la parabole

74 PUEMlÈr.E PAllTIi:. CHAPIIKE TlîOJ SliiME .

plane, s'appliquent sans aucune niodificalion à la parabole sphérique.

48. Théorème IV. Le lieu dts projections d'un Joyer O d'une conique spliérique sur les arcs de grand cercle tangents à la courbe, est, en général^ une seconde conique sphérique dont le petit axe est dirigé, suivant le grand axe de la proposée^ et le point O est Vun des pôles des sections circulaires du cône qui la contient : le lieu en question peut d'ailleurs se réduire (i un grand cercle , dans un cas particulier déjà examiné [^voir page 63); mais il ne peut jamais être un petit cercle fie la sphère.

Démonstration. La projection du lieu considéré sur le plan tangent au point O est en effet la podaire d'une conique . plane par rapport à l'un de ses foyers ^ et cette podaire est un cercle dans le cas général, une ligne droite dans un cas particuliei^ et le cône qui renferme ce cercle, dans le cas général, et qui a pour sommet le centre de la sphère, n'est jamais de réi^olution.

Remarque . La podaire d'une conique sphérique, par rapport à un point quelconque O de la sphère, et la supplémentaire de cette conique étant, relativement au même point O, deux lignes à rayons vecteurs complémentaires; leurs projections sur le plan tangent en O seront deux lignes réciproques Donc, la podaire d'une conique plane, par rapport à un point quelconque de son plan .^ est la réciproque ., par rapport au même point, d'une seconde conique.

49. L'application de la théorie des figures supplémentaires aux théorèmes précédents conduirait aisément aux théorèmes corrélatifs , que nous nous dispenserons d'énoncer.

DE L IKDICATRICE Sl'HÉRIQUE.