CHAPITRE lY

DE LIKDICATRICE SPHÉUIQUE.

oO. Définition de Vindicalrice spliériqne d'une ligne à double courbure.

Considérons dans l'espace une ligne à double courbure quelconque L, et menons par le centre d'une sphère de rayon i , des rayons of, oti parallèles aux tangentes de cette ligne : leurs extrémités f , t^ formeront sur la surface de la sphère une ligne l que nous appellerons Y indicatrice sphérique de la ligne primitive; les points correspondants des deux lignes seront d'ailleurs un point quelconque de la ligne primitive, et le point de la ligne sphérique qui est l'extrémité du rayon parallèle à la tangente au premier point.

51. Relations descriptives entre une ligne et soh indicatrice sphérique.

Une ligne quelconque de l'espace L et son indicatrice /, considérées en des points correspondants, présentent les propriétés suivantes ; Le plan du grand cercle tangent à Vindicalrice est parallèle au plan osculateur de la ligne primitive L -, la tangente rectiligne de V indicatrice est parallèle à la normale principale de la ligne L, et le rayon de la sphère aboutissant au pôle du cercle osculateur de l'indicatrice est parallèle à In direction limite de la plus courte distance entre deux normales principales consécutives de la ligne L, ou à la droite rectifiante. Ces relations sont à peu près évidentes. Ainsi, le plan tot^ étant parallèle au plan mené par une tangente fixe de la ligne L, parallèlement à une tangente infiniment voisine, les limites de ces plans, c'est-à-dire... sont parallèles. La tangente de l'indicatrice en t étant située dans le plan du grand cercle tangent en ce point, et se trouvant perpendiculaire dans ce plan au rayon ot , est parallèle à la normale principale de la ligne L qui occupe, dans le plan osculateur et par rapport à la

yÔ PREMIÈIIE PARTIE. CHAPITRE QUATRIEME.

langeiile tic celle ligne, une posiliou semblable. Enfin, le rayon de la sphère aboulissant au point d'intersection de deux grands cercles normaux à Tindicalrice, est perpendiculaire à deux tangentes rectilignes de l'indicatrice, ou parallèle à la plus courte distance de deux normales principales consécutives de la ligne primitive : donc la limite de ce rayon ou le rayon de la sphère qui aboutit au centre de courbure sphérique de l'indicatrice, est parallèle à la droite rectifiante. Celle dernière observation conduit à la conséquence que ia développée sphérique de V indicatrice est elle-même V indicatrice sphérique de Varête de rehroussement de la surface rectifiante^ engendrée par les droites de même nom, c'est-à-dire par les intersections successives des plans menés par les tangentes de la ligne primitive, perpendiculairement aux plans osculateurs correspondants.

52. Relations métriques entre la ligne primitive et son indicatrice .

L arc élémentaire ds = tt^ de Tindicatrice pouvant être remplacé par l'arc de grand cercle tti, et ce dernier mesurant l'angle des ravons ot^ oti parallèles à deux tangentes consécutives de la ligne L, on voit d'abord que l'arc élémentaire ds de l'indicatrice mesure l'angle de contingence E de la ligne primitive

Il résulte ensuite de la première des relalions descriptives énoncées précédemment, que l'angle de contingence géodésique de l' indicatrice est égal à V angle de torsion H de la ligne primitive

(17) Cg=B;

et de la combinaison de ces relations on déduit

(18) r^ =-. tango = ^-

Cette formule exprime que le rayon de courbure géodcsiquc de r indicatrice mesure le rapport de la première à la se-

DE L INDICVTRICE SPHÉUTQUE. 77

coude courbure de la ligne primifi\>e; elle fournit en même temps la tangente trigonométrique de r inclinaison, sur le plan osculateur, de la plus courte distance entre deux normales principales consécutives de la ligne primitive.

Enfin, l'angle w de deux normales principales consécutives de la ligne primitive est égal à l'angle de contingence de l'indicatrice,

et si l'on appelle E', H' les angles de contingence et de torsion de l'arête de rebroussement de la surface rectifiante, qui a pour indicatrice la développée de la ligne ï?i, on aura (d'après les relations établies à la page 87 entre une ligne spbérique et sa

dével

(20) et

oppec

ds' = h

r/.arc taiii

ou

H'=co

53. De deux autres lignes sphériques cotijuguées à la ligne primitive, et de leurs relations avec V indicatrice. Menons, par le centre de la sphère, deux nouvelles séries lig. 25. de rayons o/z, o«i,. . . cl op, opi,. . .

parallèles aux normales principales et aux droites polaiiTS de la ligne primitive: leurs extrémités engendreront deux nouvelles lignes sphériques nni et ppi, dont nous allons indiquer rapidement les liaisons avec l'indicatince tti.

1". Le plan ton étant parallèle au plan osculaleur de la ligne primitive, et l'angle ton étant droit, lare tn est égal à un quadrant cl coïncide avec l'arc tansent à l'indicatrice en t. Ainsi

j8 PREMIÈRE PARTIE. CFIAPITRE QUATRIÈME.

la ligue sphérique des normales niii peut se construire par points en menatit des arcs de grand cercle tangents à V indicatrice en ses différents points, et prenant sur chacun d^eux, à partir du point de contact, un arc égal à un quadrant.

2°. Le rayon op étant perpendiculaire au plan osculateur de la ligne primitive et, par suite, au plan ton., le point p est le pôle de l'arc de grand cercle tn ; donc la ligne sphérique des droites polaires ppi peut se construire par points en menant parles di^^ers points de V indicatrice des arcs de grand cercle normaux à cette courbe, et prenant sur chacun d'eux., à partir de cette dernière, un arc égal à un quadrant. On voit en outre que Vindicairite et la ligne ppi sont deux lignes supplémentaires ayant même développée sphérique tttTi , les rayons de courbure sphérique de ces lignes étant complémentaires ; et que la ligne nn^ présente un mode de construction identique par rapport aux deux lignes it^, ppi-

"i^ . Enfin la ligne nnj et la ligne titi^ (^développée commune des lignes tt,, i^^^y soJit deux lignes supplémentaires, ayant même développée ^ et dont les rayons de courbure sphérique sont complémentaires : cela résulte de ce que le point n est le pôle de l'arc de grand cercle fp tangent en t: à la ligne titti .

Observation. La ligne ppi pouvant être considérée comme l'indicatrice de l'arête de rebroussement de la surface polaire relative à la ligne primitive L, il résulte des relations précédentes entre les lignes tti et pp^ que les angles de contingence et de torsion d'une ligne sont respectivement égaux aux angles de torsion et de contingence de P arête de rebroussement de la surface pohdrc , et que les normales principales de ces deux lignes sont parallèles (voir pages i8 et 19),

FORMULES DIVERSES. Ol)