OA R
(.3'] -=^=tan-G.
Quant à la plus courte distance elle-même, en la désignant
par Tô, on a
rô = 00' = dS.cosB,
ou
(23") t, = ds.- :
Hemarque. Nous avons supposé, dans la figure, le point O situé entre les points A et C. Pour démontrer cpi'il en est toujours ainsi, il suffit de remarquer que les plans tangents en A et C de la surface gauche formée par les normales principales de la ligne A Ai, sont rectangulaires : le premier de ces plans contient en effet la tangente en A de la ligne AAi, le second contient la droite polaire qui passe par le point C, et qui représente la tangente en ce point d'une trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes de la surface; et ces droites sont perpendiculaires entre elles. Il en résulte [voir la page 12, observation) que le point central de la génératrice AC, c'està-dire le pied O de la plus courte dislance considérée, est compris entre les points de contact de ces plans, c'est-à-dire entre les points Aet C.
Corollaire I. Détermination du coefficient de distribution des plans tangents à la surface gauche formée par les normales principales .
Suivant le théorème général démontré dans le chapitre I (n" 9. page 10). le coefficient dont il s'agit, A, est égal au
FORMULES DIVERSES. 8r
rapport de 1 angle de deux génératrices consécutives à leur
plus courte distance, h = - : on a donc, en employant les forer "
mules (22^ et ( ^S"),
Corollaire II. On déduirait sans peine des résultats précédents, 1° Texpression de l'arc élémentaire OOi de la ligne de striction de la surface gauche des normales, et la direction de la tangente à cette ligne; 2" la direction de la droite rectifiante en A, laquelle est parallèle à 00'; et l'arc élémentaire de Tarête de rebroussement de la surface rectifiante, arête dont nous avons calculé déjà les angles de contingence et de torsion, E'et H' [voir les formules (20) et (21), page 77) : la surface T'ecii fiante étant, comme on sait, l'enveloppe des plans menés par les tangentes de la ligne considérée, perpendiculairement aux plans osculateurs correspondants; et les génératrices de cette surface portant le nom de droites rectifiantes .
oO. Rayon R de la sphère oscidatrice.
On a, pour le carré de ce rayon,
(,5) R. = K; + R;(15ij'.
Cette équation résultera immédiatement de la formule (7) [voir page 87), si on se rappelle que le rayon de la sphère y a été pris pour unité de longueur, et si on y rétablit l'indétermination de cette unité; car il suffira dès lors de remarquer que, dans tout problème où l'on a seulement à considérer quatre points infiniment voisins d'une ligne à double courbure, on peut regarder cette ligne comme tracée sur la surface d'une sphère.
37. Eléments divers relatifs à la ligiie des centres de courbure et à V arête de rehroussement de la surface polaire.
Soient AA', ce et SS' la ligne à double courbure primitive, le lieu des centres de courbure et l'arête de rebrovissement de
la surface polaire : développons cette surface sur un plan, et soient ss'^ ce' les transformées des lignes SS' et CC: la ligne ce' étant, d'après le théorème de Lancret (x'o/r page 19), la podaire de la ligne ss' par rapport à une certaine origine O, Si l'on pose
57= r, Ôr = ;j,
on aura, par le même théorème et par l'emploi de la formule (25), page 81,
dS
Fig. 2-,
Cela posé, il existe, entre la ligne plane ss' et sa podaire ce', plusieurs dépendances simples, soit métriques, soit descriptives, que nous devons d'abord rappeler.
I . Les rayons vecteurs correspondants de ces deux lignes. Os et Oc, les coupent sous des angles égaux.
Il en résulte, en désignant par SS' et CC les arcs élémentaires du lieu des centres et de Tarète de rebroussement qui correspondent à l'arc AA'= é?S de la ligne primitive, ces trois
relations :
p ce' CCI dp
sin {ce', cO) =
