FORMULES DIVERSES

Orpour passerdelà aux relations correspondantes en Ire les lignes ce et SS' de l'espace, il suffit d'y remplacer /•, p et \Jr- — p^ par leurs valeurs [a)\ p,,, par le rayon de première courbure Ri,,,, de l'arête de rebroussement SS'5 et enfin, suivant le théorème II de la page 1 1 , qui sera démontré plus loin , p^,, par le rayon de première courbure géodésiquede la ligne CC, Rj,„,^,/. Ou obtient ainsi les résultats suivants :

i'. Les rayons correspondants de la sphère osculatrice et du cercle osculateur coupent sous des angles égaux rareté de rebroussement de la surface polaire et la ligne des centres de courbure j et l'on a

(26) sin(CC',CA)=?^,

CC'^ SS' ~rfR

(28) ce = ris

et Ton pourrait déduire de cette formule l'expression du rayon de seconde courbuie de la même ligne, en se rappelant f|ue R2^R,.

'3o) R,.,ce' =

clR,

Entin, on peut trouver encore la valeur de la seconde courbure géodésique de la ligne des centres CC, eu employant la formule suivante, relative à nue ligne quelconc^ue CC tracée sur une surface développable ayant SS' pour arête de rebroussement , et coupant sous un angle / la génératrice de la surface qui passe par le point considéré de la ligne CC [voir ci-après, clia-

8/î IMlEMli nE PARTIli. CHU'lTKi: CIAQUIÈME.

pilreVIIÏ, n« 3, formule (39'0),

sin i cos/' R,

dans laquelle r désigne la portion de génératrice comprise entie Tarète de rebroussement SS' et la ligne CC: car on a, dans le cas actuel,

cos/ sin ( ce, CA) R, sin/ ' Ri,si' R/

cl Ton trouve, en substituant,

Remarque. Les formules (3o) et (3i) appliquées en particulier à la ligne spliérique dont la seconde courbure est constante, conduisent à ce résultai : La ligne des centres de courhure de la ligne sphérique dont la seconde courbure est constante, a ses deux courbures géodésiques constantes, par rapport à la surface conique polaire sur laquelle elle est tracée.

08. Expression de la distance entre deux tangentes consécutit^es d'une ligne à double courbure.

On connaît cette intéressante proposition, due à M. Bouquet, et d'après laquelle 5/ dans une série quelconque de droites se succédant d'une manière continue , la distance de deux droites consécutives est un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, cette distance est au moins du troisième ordre ; et les conséquences qui s'en déduisent relativement à l'ordre de la distauce entre deux tangentes consécutives d'une ligne à double courbure. On peut, en modifiant l'ordre de succession de ces propositions, les établir géométiiquementl'une^et l'autre , comme nous allons le faire voir,

I . Si la distance de deux droites consécuti\>es quelconques d'une série est un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, les droites de cette série sont les tangentes d'une même ligne de l'espace. Considérons, en effet, la surface ré-

FOUMILES DIVERSES. 85

glée S, ayant pour géuéralrices les droites de la série donnée : l'angle w de deux génératrices consécutives de la surface étant du premier ordre, et leur plus courte distance vs étant, par hypothèse, d'un ordre supérieur au premier, le coefficient de distribution des plans tangents le long de chaque génératrice, A = lim, - , est infini ; la surface a même plan tangent le long de chaque génératrice-, elle coïncide avec la surface déueloppable c[iù serait l'enveloppede ces plans tangents-, et les droites delà série donnée, dont chacune est située tout entière sur cette surface dé\ eloppable, coïncident avec les tangentes de son arête de rebroussemenl.

Ce premier point peut encore s'établir, plus clairement peutêtre, de la manière suivante.

Considérant la ligne de striction 00' de la surface S, soient OG, O'G' deux génératrices Infiniment voisines coupant cette ligne en O, O'; et soit OOj leur plus courte distance. Celte dernière ligne étant au moins du second ordre, on en conclut, par l'emploi du triangle rectangle OO^O', ou que la cordeOO'de la Fig. >8. ligue de striction est elle-même du second

^^ ^ ordre, ou bien que cette corde restant du

'^1 p\ premier ordre, l'angle qu'elle forme en O'

y^^^~^" avec la génératrice O'C est infiniment

G^ petit. On déduit immédiatement de cette

seconde hypothèse, que les génératrices sont tangentes à la ligne de striction 00' qui devient dès lors l'arête de rebroussement de la surface : et quant à la première hypothèse, elle conduit aisément à la conclusion que la ligne de striction se réduit à un point unique; la surface se réduisant elle-même à un cône ayant son sommet en ce point.

2, La distance de deux tangentes consécutives d'une ligne à double courbure est un infiniment petit du troisième ordre mesuré par le douzième du produit des angles de contingence et de torsio/i , multiplié par rare intercepté entre ces tangentes. (Ossian Bonnet, Noui'elles Annales de âlathémali- (jucs. i853, page 192.)

Ou peut évidemment, daus la recherche de Li distance dont il est question, substituer à la ligne proposée L, qui est quelconque, une ligne sphériquc Z ayant avec elle un contact du troisième ordre; et au lieu de laisser indéterminée la nature de cette ligne sphériquc , on peut la regarder comme une développante aa' d'un petit cercle ce' de la sphère ; car on fait ainsi intervenir réellement, quoique d'une manière implicite, quatre points, et, par suite, deux tangentes consécutives des lignes L et /; ce qui est nécessaire et suffisant dans le problème actuel.

Cela posé, menons deux arcs de grand cercle infiniment voisins, normaux en «, tî à la ligne sphériquc «r/, tangents en c, c' au petit cercle dont le pôle est /?, et se coupant en i\ menons en outre les arcs pc^ pc' , pi, les rayons oi, oa, oa! et la corde aa'; el posons, suivant la notation déjà employée,

a'c' = 6 -t- dO, arc ce' = dO, pc :

cpc

Fig. 2(J.

Le rayon oi de la sphère étant parallèle à la droite qui mesure la plus courte dislance cj des tangentes en r/, a' de la ligne considérée aa' ^ cette plus courte distance est égale à la projection de la corde aa'^ ou à la difféience des projections des rayons oa' et oa, sur le rayon oi : on a donc

CT = cos ia' — cos ia,

ou, par des transformalions qui se lisent aisément sur la figure,

2 sin (Ô -f- £}. siu

£ désignant \\n arc infiniment petit. D'ailleurs, si on suppose menées les cordes sous-tendant les arcs ic, ic', ce', on sait que chacun de ces arcs est égal à la corde correspondante augmentée d'un infiniment petit du troisième ordie, et que la corde enveloppée ce' ne dilîère de la somme des deux autres cordes

FOKMULES DIVERSES. 87

c/, c'i que d'une quantité du même ordre ; il eu résulte que

,, ic -+■ rc' — arc fc' . . , . ., ,

1 arc— est, ainsi que rj, du troisième ordre: et

que, sans commettre aucune erreur de cet ordre, on peut écrire

m = sinO [ic + ic' — arc ce' ) .

Or, on a, sans rien négliger,

(a) arc ce' = cpc' . sin cp = c' . sin 0' ;

tang/r:=sinO .lang-r

( b ) ic 4- ic' = 2 /c =: 2 arc tang . sin Ô' tang - ;

ou encore, en négligeant cette fois les inlinimenl petits d'un ordre supérieur au troisième,

( b' ) ic -+■ ic' = •?. sin 9' . tang sin" 0' . tang' - •

On déduit de là, en remarquant que tang = rr tang' ->

ic ■+- ic — arc ce = 2sin Ô' tani» ) — - sin^ G . lang^ -

= - sin 0' tang' — (i — sin- 0' ) = - sin ô cos' 0 . tang' - ^

d'où, en substituant dans l'expression de tô. et remplaçant 'ang^par'-,

(i) ci=: — e''sin9.sin 6' cos^Q'.

Enfin, en désignant par c, h et ds les angles de contingence et de torsion et l'arc élémentaire de la ligne aa\ on a les relations connues