CHAPITRE \I

DES LIGNES A DOUBLE COURBURE QUI , COKSIDÉRÉES DAKS TOUTE LEUR ÉTEJSDUE, JOUISSENT EN CHACUN DE LEURS POINTS d'uNE MEME PROPRIÉTÉ, MÉTRIQUE OU DESCRIPTIVE \ ET DE LA DÉFINI- TION GÉOMÉTRIQUE DE CHACUNE DE CES LIGNES d'aPRÈS CETTE

PROPRIÉTÉ. THÉORÈMES. ROLE IMPORTANT DE l'iNDICATRICE

DANS LA DÉMONSTRATION DE PLUSIEURS d'eNTRE EUX.

Propriétés descriptives.

59. Si les tangentes d'une courbe rencontrent un plan fixe sous un angle constant, cette courbe est une hélice, ou une ligne géodésique d'un cylindre perpendiculaire au plan directeur : sembîablement ,

Théorème I. Si les tangentes d'une courbe à double cour-

bure rencontrent une sphère fixe S sous un angle constant , cette courbe est une ligne géodésique tracée sur un cône concentrique à la sphère directrice^, abstraction faite du cas, dont la possibilité est évidente, où la courbe serait une simple ligne spliérique, appartenant à une seconde sphère concentrique à la proposée.

Démonstration. Que Ton développe, en effet, sur un plan le cône auxiliaire ayant pour sommet le centre S de la sphère, et passant par la courbe donnée AA'. Dans ce développement, la ligne TT' déterminée sur la sphère par les traces des tangentes de la courbe proposée, se transformera en un cercle t^ ayant pour centre le point 5, ou se réduira à vui point unique t. Dans le dernier cas, toutes les tangentes de la ligue A A', transformée, concourent en un même point 5 cette ligue est droite, et la courbe primitive A A' est une ligne géodésique dvi cône déjà défini : dans le premier, les tangentes de la ligne AA', transformée, coupent le cercle [tt' , s) sous un angle 1 constant; cette ligne est un second cercle

concentrique au premier, et la courbe primitive AA' appartient à une sphère concentrique à la sphère directrice proposée.

Corollaire. Les tangentes d'une ligne à double courbure ne peuvent rencontrer deux sphères, distinctes et non concentriques, sous des angles coustanls.

Scolie. Nous verrons plus loin (-î^o//- ci-après, chap. VIII) que toute surface développahle dont une ligne de courbure (ou une trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes) est plane , a pour arête de rebrousseincnt une ligne géodési~ que tracée sur un cjlindre perpendiculaire au plan de celte ligne j toutes les autres lignes de courbure de la surface présentant, en outre, les mêmes particularités : semblablement, toute surface développable dont une des lignes de courbure est une ligne spliérique, a pour arête de rehrousseinent une

la..

ligne géodésique tracée sur un cane concentrique à la sphère qui contient cette ligne j et toutes les lignes de courbure de la surface appartiennent à des sphères concentriques. Il suffit, pour le démontrer, de concevoir développé sur un plan le cône auxiliaire passant par l'arête de rebroussement AA' de la surface considérée, et ayant pour sommet le centre S de la sphère qui contient la ligne de courbure donnée TT'. Car la ligne A A' étant une développée de TT', la même relation subsiste encore entre ces deux lignes après le développement. Celui-ci doit donc transformer la ligne TT', non en un cercle /f', parce qu'alors la ligne AA' se réduirait à un point, mais en un point unique « : et ce résultat conduit, comme précédemment, à la définition de Tarète de rebroussement A A'. D'ailleurs, l'une quelconque des autres lignes de courbure, TiT', , se ti^ansformant en un point unique /, par le même développement, la distance de ce point au sommet S du cône développé représente le l'ayon d'une splière, concentrique à la première, et contenant la ligne de courbure considérée.

On aurait pu éviter une nouvelle démonstration et rentrer dans le théorème I, en remarquant que la sphère S, qui contient la ligne de courbure donnée, coupe la surface sous un angle constant.

Théorème II. Si les tangentes d'une courbe à double courhure sont tangentes à une même sphère, cette courbe est une ligne géodésique appartenant à un cône concentrique à la sphère; ou une ligne sphérique.

Démonstration . Le théorème actuel est uu cas particulier du précédent, et se démontrerait, directement, de la même manière.

Corollaire. Les tangentes d'une courbe à double courbure ne peuvent être tangentes à deux sphères distinctes.

00. Théorème III. Si par le centre d' une sphère on mène des layons paralhdes aux normales principales d'une ligne à double courbure fermée , mais d^ ailleurs quelconque; leurs extrémités forment une courbe fermée, partageant la surface de la splière en deux parties éqidvalentes (Jacobi).

Démonstration. Considérons l'indicatrice sphériquc tty de la ligne considérée, et appliquons-lui la construction qui fournit la courbe nn^, lieu des extrémités des rayons de la sphère parallèles aux normales principales de la ligne primitive; c'està-dire prenons sur chaque grand cercle tangent à l'indicatrice un arc tn égal à un quadrant. Si nous prolongeons, en outre, chacun des arcs in en nt' , jusqu'au point diamétralement opp. 2, posé au point f, le point t! ainsi obtenu

décrira sur la sphère une courbe t't\, sy- K\ — P'"^^;-. métrique de la première tt^. D'ailleurs, la

Y ligne primitive étant fermée, il en sera

' r a"' de même de chacune des lignes //j, t! t\ , et les aires sphériques enveloppées par ces lignes seront équivalentes. Il suffira donc, pour démontrer la proposition, d'établir que la courbe nn^ divise en deux parties équivalentes la portion de la sphère comprise entre les lignes ffj, t' t\ . Or ceci est évident, car si l'on appelle /, i' les points d"inlerscctiondes grands cercles tnt\ fi«i^', , on peut prendre pour éléments respectifs des aires sphériques comprises entre la courbe nn^ et chacune des lignes r^j, i'z', , les triangles infinitésimau.x //i/ii, i'nuiX et comme chacun des arcs in, in y., i' n, i' ni diffère infiniment peu d'un quadrant, ces triangles sont équivalents.

Observation. La démonstration précédente n'est autre que celle de M. Bonnet (voir Journal de V École Polytechnique, 1848, page 132), dégagée néanmoins de ([uelques considérations qui paraissent étrangères à la question.

61 . Théorème IV. Si les normales principales d'une ligne sont parallèles à un plan fixe, cette ligne est une hélice cylindrique. (Bertrand, Journal de Mathématiques, i85o, page 343.)

Démonstration . Les tangeules rectilignes de l'indicatrice de la ligue considérée, étant parallèles aux normales principales de celle ligne, sont, dans le cas actuel, parallèles à un même plan

l'indicatrice est donc plane et, par suite, circulaire^ elles rayons de la sphère qui aboutissent à ses différents points font avec une direction fixe un angle constant. 11 en est doac de même des tangentes de la ligne primitive, parallèles à ces rayons-, et celte ligne est une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan fixe donné.

6!2. Théorè:me ^. Si les norinales principales d'une courbe sont parallèles aux génératrices d'un cône de révolution, cette courbe est une ligne géodésique d'un héliçoïde déi'eloppable.

Démonstration. La réciproque de cette proposition est évidente, puisque les normales principales d'une telle ligne géodésique coïncident avec les normales mêmes de rhéliçoïde; et que ces dernières étant perpendiculaires aux plans osculateurs d'une hélice, lesquels sont parallèles aux plans tangents d'un premier cône droit, sont parallèles aux génératrices d'un second cône, de même axe que le premier.

Pour établirla proposition directe, imaginons que, par les diverses tangentes de la ligne considérée/^', o\\xah\iç\&h plans rectifiants, perpendiculaires aux plans osculateurs correspondants de cette ligne. Ces plans formeront par leurs intersections successives une surface développable, la surjace rectifiante, qui est ici un héliçoïde On voit aisément, en effet, que la génératrice de cette surface, pouvant être regardée comme perpendiculaire à deux normales principales consécutives de la ligiie proposée, normales parallèles elles-mêmes à deux génératrices consécutives d'un cône droit, est perpendiculaire au plan tangent de ce cône, et fait avec l'axe de ce cône un angle constant. L'arête de rebroussement de la surface rectifiante, dont celte génératrice est une tangente, est donc une hélice, et la surface rectifiante elle-même est un héliçoïde développable. Enfin les normales principales de la courbe pi'oposée, qui appartient à cet héliçoïde, étant normales à la surface, cette courbe est une ligne géodésique de l'héliçoïde.

On peut établir aussi la proposition par l'emploi de l'indica-

THÉOKÈMES. Ç)3

iricc. Car les langenles rectilignes de celle dernière, i|ui sont parallèles aux normales principales de la ligne primilive, se trouvent, dans le cas actuel, parallèles aux génératrices d'un cône de révolution. L'indicatrice est donc une hélice spliérique, ayant un petit cercle de la sphère pour développée [yoif page 39). Or, les plans des grands cercles normaux à lindicatrice sont parallèles aux plans rectiCantsdela ligneprimitive. et la développée de l'indicatrice sert d indicatrice à Farêle de rebroussemenl de la surface rectifiante (i'o//' page 76). Cette arête, avant un petit cercle pour indicatrice, est donc une hélice cylindrique, et la surface rectifianle est un héliçoïde développable.

63. Théorème VI. Si Jes normales principales d'un, courbe rencontrent une droite fixe oz, celte courbe est une ligne géodésique tracée sur une surface de révolution aYani pour axe la droite oz.

Démonstration. Si Ion considère, en elfet, la surface de révolution engendrée par la rotation de la courbe donnée AB, autourde Taxe 02, la normale à celte surface, en chaque poini delà courbe AB, devra être normale à cette courbe elle-même, et rencontrer en outre Taxe oz de la surface^ et comme ces conditions sont déjà remplies par la normale principale de la courbe AB, ces deux normales coïncident, et la courbe ABesi une ligne géodésique de la surface de révolution déjà définie.

11 résulte de ce théorème qu'il suffirait, pour rechercher les propriétés que présente, par rapport à une droite fixe oz, une ligne à double courbure dont les normales principales rencontrent constamment cette droite, d'examiner les liaisons qui existent entre une ligne géodésique d'une surface de révolution et l'axe de celte surface : or ces liaisons sont exprimées parla proposition suivante :

Théorème VII. En chaque point d'une ligne gêodésiqur d'une surface de révolutiofi, le rayon du parallèle qui passe parce point^ multiplié parle cosinus' de V angle de ce parai lèh' et de la ligne géodésique considérée, donne un produil

coiislant. (Clairaut, Mémoires de V Académie des Sciences, 17.33.)

Première démonstration. On sait qu'une ligne géodésique d'une surface quelconque peut être considérée comme la trajectoire d'un mobile qui, animé primitivement d'une vitesse convenablement dirigée, et n'étant sollicité par aucune force extérieure, serait uniquement soumis à la réaction normale de la surface. D'ailleurs, et dans ces circonstances, lemouvement du mobile étant uniforme, les arcs parcourus sont proportionnels aux temps: et l'on a

(i) Hs=:c.ch,

c désignant une constante. D\m autre côté, le mobile pouvant être regardé comme entièrement libre et soumis à l'action d'une force extérieure représentant la réaction normale de la surface supprimée 5 sa projection, sur un plan quelconque, se meut comme un point matériel sollicité à chaque instant par la projection, sur ce plan, de la réaction normale primitive.

Or, si l'on suppose maintenant que la surface considérée soit de révolution autour de l'axe oz, et que le plan de projection xy soit perpendiculaire à cet axe, on voit que la projection, sur ce plan, du mobile primitif se meut sous l'action d'une force émanant d'un centre fixe o, qui est le pied de l'axe oz sur le plan xy. Les aires décrites autour du point o par le mobile projeté sont donc proportionnelles aux temps; et l'on a, en désignant par /• le rayon du parallèle et par c' une nouvelle constante,

(2) /■■r/o) =c' .{If,

enfin, de la comparaison des relations (i) et (2), on déduit,

(3) ;•. := - = constante:

' ' (Is c

et il est aisé d'apercevoir dans cette relation 1 » xpression analytique du théorème VJL

Seconde déinonsiralion. AA' étant une ligne quelconque

tracée sur la surface do révolution qui a pour axe la droite zz^ nous désignerons par /•, comme précédemment, le rayon du parallèle qui passe par ce point ; par Q l'inclinaison de ce rayon

sur la courbe méridienne 2 A du même point; par i et i~{- di les angles que la courbe considérée A A' forme, en A et A', avec les courbes méridiennes de ces points, et par dtsi l'angle formé par les plans de ces dernières.

Ces notations posées, imaginons, parle centre d'une sphère, des rayons 02, 001.^ oa' parallèles respectivement à l'axe de la surface et aux tangentes des sections méridiennes aux points A, A'; et, ayant construit l'indicatrice aa! de la courbe AA', menons les arcs de grand cercle Z3<, z:/! (parallèles aux plaris

des sections méridiennes des points A, A'); aa, da! perpendiculaires aux précédents et se coupant eu p : enfin, décrivons du point/?, comme pôle, l'arc de cercle ahi. On a, dans le triangle rectangle aai a',

(rt) «, a' = aa' . cos a = E cos a ,

E et a désignant l'angle de contingence et l'inclinaison, sur le plan tangent, du plan osculateur de la ligne AA' en A. D'ailleurs l'arc za' pouvant être considéré comme perpendiculaire eu A sur l'arc aap, on peut regarder le point p comme le pôle de l'arc Aa', et poser l'égalité

P I;a =: et' ai^

d'où l'on déduit

a^a' = {a'x' — a a.) — /. a = di — Z a , OU

{b) a^a' ^=d! — cosB.dôi;

et la comparaison des relations {a) et (b) conduit à celte formule générale

( 33 ) É^ =: E ". cos a = dt — cos 6 . dw.

Fig. 32.

g6 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE SIXIÈME.

qui se réduit, dans le cas où il s'agit d'une ligne géodésique, à celle-ci :

di — cos 9 . d(,i =z o .

Enfin on trouve sur la figure de l'espace, et en désignant par (la lare élémentaire de la section méridienne,

, dr dr

cos6=:it-;-i rd(ù=z drTAAï\"i ; cosô.rfcjrr riz — tanir;': d(j ^ r "-

et la subslilulion de cette dernière valeur dans la formule précédente donne successivement

,.,df cosi.di dr d.s'iut , dr

di± — tan^i=:o-< — : dz— = o, dz — = o;

r ^ sm / r sin / r

d'où, en intégrant,

r-' . sin / = constante.

On pourra d'ailleurs faire disparailrerambiguïté que présente encore cette formule, en prenant, au lieu d'une surface quelconque, un cône de révolution dont les lignes géodésiques sont, évidemment, représentées par l'équation

(34) rsini = con>tanfe.

Scolie. Les normales principales d\ine ligne à double courbure pcuuent-elles rencontrer constamment deux droites fixes, non situées dans le même plan, ou, en d'autres termes, deux surfaces de révolution, dont les axes ne se rencontrent jyas, peuvent-elles être en contact suivant une ligne géodésique?

Si cette question devait être résolue négativement, le théorème suivant serait une conséquence immédiate de celte conclusion, et la démonstration que nous allons en donnerdeviendrait inutile.

Théorème \HI. Les normales principales d'une ligne à double courbure ne forment jamais une surface réglée du second degré. (Bertrand, Journal de Mathématiques, i85o, p. 34*2.)

Démonstration . Une ligne à double courbure quelconque est, en elVci. une ligne asymptoiique delà surface gauche for-

THÉO ni;. MRS. gy

niée par les normales principales de celte ligne-, et il ne passe d'ailleurs, en chaque point d'une surface quelconque, que deux lignes asymj)totiques. Or, dans une surface réglée du second degré (hyperboloïde à une nappe, ou paraboloide hyperbolique), toutes les lignes asyraptoliques sont des lignes droites, à savoir, les génératrices rectilignes de la surface, de l'un ou de l'autre système : donc, etc.

Corollaire. Les normales principales d'mie ligne à double courbure ne peuvent rencontrer en même temps trois droites fixes ^ ou, rencontrer deux droites fixes ci se trouver parallèles à un plan fixe : et, en particulier, les normales principales d une hélice cylindri(pie quelconque ne peuvent rencontrer deux droites fixes.

64-. THÉoRii;ME IX. Si les normales principales d'une ligne rencontrent à angle droit une droite fixe OZ, cette ligne est une hélice tracée sur un cylindre de révolution, ayant pour axe la droite OZ .

Démonstration. D'après le théorèine M, la courbe considérée est une ligne géodésique de la surface de révolution S, qui aurait pour génératrice cette courbe elle-même, et pour axe la droite OZ. D'ailleurs les normales principales de la courbe, ou les normales de la surface S, étant perpendiculaires à l'axe OZ, les plans tangents de la surface sont parallèles à OZ, et la suiface S est un cylindre parallèle à OZ. La courbe considérée est donc une ligne géodésique tracée sur une surface cylindrique, de révolution autour de l'axe OZ: ou une hélice appartenant à nu cylindre de révolution.

65. I'héorème X. Si les normales principales dune courbe rencontrent sous un angle constant une droite fixe OZ, celte courbe est une ligne géodésique tracée sur un cône de révolution, ayant pour axe la droite OZ.

Démonstration. 11 résulte encore des données de laqueslion que la courbe considérée est une ligne géodésique d'une surface de révolution 5 et que les plans tangents de celte sur-

yH PREMIÈF.E PAKTrE. CHAPITRE SIXIEME.

face font avec l'axe OZ un angle constant : les tangentes diiui^ section méridienne de la surface, aux différents points de cette section, font donc avec l'axe OZ un angle constant; la section méridienne est donc une droite, et la surface se réduit à un cône de révolution.

Obseivation. Les normales principales de la ligne géodésique considérée forment une surface gauche ayant l'axe mémo du cône poui' ligne de striction.

Propriétés métriques.

66. Des relations existant entre une ligne dont la première courbure est constante, et le lieu ries centres de courbure de cette ligne.

Soient AA'la ligne proposée; AC, A'C ses rayons de couibure en A, A', et CC la ligne des centres de courbure, la droite AC, de longueur constante , étant normale à la courbe décrite par son origine, est aussi normale à la courbe décrite par son extrémité; et la tangente du lieu des centres de courbure est, par suite, perpendiculaire à la normale principale. D'ailleurs la normale principale, la tangente du lieu des centres de courbure et la droite polaire, relatives à un menu point d'une ligue quelconque, sont toujours situées dans un même plan; et comme ces deux dernières droites sont l'une ( è l'autre, dans le cas actuel, perpendiculaires à la première, elles coïncident. Donc les droites polaires, c'est-à-dire les tangentes de l'arête de rebroussement de la surface polaire, coïncident avec les tangentes de la ligne des centres ; et, par suite , la ligne des centres de courbure elle-même coïncide avec l'arête de rebroussement de la surface polaire. Cela posé,

Les normales principales de l'arête de rebroussement étaiu parallèles aux normales principales delà ligne primitive, quelle que soit cette' ligne, les normales principales du lieu des centres, dans le cas actuel , coïncident avec celles de la ligue proposée.

THEORKMES. ng

De même les tangenies de l'arête de rebroussement étant, quelle que soit la ligne primitive , perpendiculaires aux plans osculateurs de cette ligne, les tangentes du lieu des centres de la proposée sont perpendiculaires à ses plans osculateurs; et, par suite, inversement, les plans osculateurs de la proposée coïncident avec les plans normaux de la ligne des rentres. Il en résulte que la limite de rinlerseclion de deux plans osculateurs ou la tangente de la proposée coïncide, avec la droite polaire relative à la ligne des centres-, et la courbe proposée est l'arête de rebroussement de la suifacc polaire relative à la ligne des centres. D'ailleurs le centre de courbure de celte dernière, situé à la fois sur la normale principale et sur la droite polaire, coïncide avec le point correspondant de la ligne primitive, et celle-ci est à la fois la ligne des centres de courbure et l'arête de rebroussement delà surface polaire relatives à la ligne des centres CC dont le rayon de courbure, égal h celui de la proposée AA', est constant comme lui.

Enfin, le produit des rayons de seconde courbure d'une ligne quelconque et de Tarête de rebroussement de la surface polaire est égal au produit de leurs rayons de première courbure : on a donc, entre les rayons de la courbe considérée et de la ligne des centres de coiirbure, la relation

et en réunissant ces résultats, on obtient le théorème suivant:

TnÉoiiiLME XI. Si l'on considère une courbe dont ta première courbure est constante et la courbe lieu des centres de courbure de la première, ces deux courbes ont mêmes normales principales j chacune d'' elles est à la fois la ligne des centres de courbure et Varéte de rebroussement de la surface polaire l'elatiues à l'autre j leurs premières courbures sont égales, et la produit de leurs secondes courbures est constant et égal au carré de la première courbure commune à ces deux lignes (Bouquet).

()7. Théorî^me XII. iSi les deux courbures d'une ligne ont

ln^^ l'Rïï.M IIIU- PAKTIK. CIÎAIMTKI-, SIXIKMK.

iiji rnjypoil consUiut , cette ligne est une hélice cylindrique. (Bertrand, Journal de Mathématiques , 1848, page 4^3 )

Première démonstnilion. Considérons 1 indicatrice spliérique de la ligne proposée : le rayon de courbure géodésique de rindicalrice étant égal au rapport de la première à la seconde courbure de la ligne primitive, la courbure géodésicpie de l'indicatrice est constante, et l'indicatrice est un petit cercle de la sphère. Il en résulte que les rayons de la spiière aboutissant aux différents points de 1 indicatrice , et, par suite, les tangentes de la ligue piimitive. f[ui sont parallèles à ces rayons, font un angle constant avec une direction fixe : et la ligne primitive est une hélice, tracée sur un cylindre parallèle àtette direction.

Seconde démon s irai ion. Considérons la surface rectifiante relative a la ligne proposée. Les génératrices de cette surface sont parallèles aux droites qui mesurentles plus courtes distances entre les normales principales consécutives delà ligne proposée: et l'inclinaison de l'une de ces droites sur cette ligne

a pour tangente ingononieirique le rapport — de ses deux

courbures, rapport qui est ici constant, par livpothèse. La courbe proposée, qui est toujours une ligne géodésirpie de la surface rectifiante, est donc, en outre, dans le cas actuel, une trajectoire sous un angle constant des génératrices reciilignes de cette surface, et conserve la même propriété après le développement de cette dernière sur un plan, La courbe proposée se transforme donc par le développement de la surface rectifiante, en une ligne droite qui coupe sous un angle constant les génératrices développées. Les génératjices sont donc parallèles après et, par suite, aussi avant le développement; la surface rectifiante est un cylindre, et la courbe proposée est une hélice tracée sur ce cylindre.

68. Théorème XlII. Si chacune des deux courbures d'une ligne est constante ^ celte ligne est une hélice tracée sur un cylindre de révolution. (Puiseux, Journal de ^/athématiques . tome VU, 1842, page 65.)

DènionstraLion. Les deux coiubuies de la ligne proposée élaiit séparément constaiiles, leur rapport est aussi eoustanl; et celte ligne est une hélice, d'après le tliéorème précédent. D'ailleurs le rayon de première courbure de cette hélice étant constant, il en est de même du rayon de courbure de la section droite du cylindre (|ui la contient (-yo/Vpage 7) : Cette section droite est donc un cercle, et le cylindre est de révolution.

()9. Théouème XIV. Toula hélice dans laquelle le rapjwrt — — est constant, (sans être nul) apjyarlienl a nu cylin-

(Ire ayant pour hase une spirale logarith/nique ^ cette courhe est en niénie temps une hélice conique coupant sous un angle constant les génératrices (Fun cône de révolution, dont l'axe passe par le pôle de la spirale et se trouve parallèle aux génératrices du cylindre. Nous appellerons cette couibe hélice cylindro-co'iique.

Démonstration. Le rayon de couibure p et l arc j> delà section droite du cyliudie qui contient l'hélice considérée, étant respectivement proportionnels aux grandeurs correspondantes

et analogues de celle-ci , le rapport -- de leurs difréienticlles

est constant pour Ja section droite, connue le raj)porl — —

pour l'hélice : et l'on en conclut, en premier lieu ( voir page 3t>, Observation), ({ue cette section droite est une spirale logarithmique.

Que l'on regarde, en second lieu, riiélice donnée comme la génératrice d'une surlacc de révolution ayant pour axe la parallèle oz aux génératrices du cylindre menée par le pôle o de la spirale, et que l'on rapporte la section méridienne de cette surlacc à l'axe oz et à une perpendiculaire ox à oz menée dans le plan de la section. On reconnaît aisément que les variations correspondantes des coordonnées z et x d'un point de la seclion méridienne sont mesurées respectivement par les projcclious, sur l'axe du cylindie et sur le layon vecteur de la spirale,

I02 rilEMlEllE PARTIE, CHAPITRE SIXIEME.

des arcs correspondants de l'hélice et de la spirale; et que ces variations, par suite, sont respectivement égales aux produits de ces arcs par des nombres constants. Or le rapport de ces arcs étant constant, il en est de même du rapport des variations des coordonnées z et x de la section méridienne; cette section est une ligne droite, et Fhélice considérée appartient à un cône de révolution.

Enfin, on voit inimédiatement, à l'aide de l'indicatrice, qu'une courbe tracée sur un cône de révolution et faisant avec l'axe de ce cône un angle constant, coupe pareillement ses génératrices sous un angle constant; et la courbe considérée est une hélice cylindro-conique , suivant les termes de Ténoncé.

Réciproquement, l'hélice conique, c'esL-à-dire la coiirhe tracée sur un cône de réi'olution et coupant ses génératrices sous un angle constant, n'est autre que V hélice cylindroconique définie précédemment .

Ou reconnaît, eu effet, à l'aide de l'indicatrice, «[ue les diverses tangentes de la courbe considérée font un angle constant avec l'axe du cône, cette courbe étant dès lors une hélice tracée sur un cylindre parallèle à cet axe. D'ailleurs la section droite du cylindre, ou la projection de la courbe sur un plan perpendiculaire à l'axe, estime spirale logarithmique. Car d'après la définition de l'hélice conique, les variations correspondantes de l'arc de la courbe et du rayon vecteur issu du sommet du cône, sont dans un rapport constant : il en est donc de même des variations de l'arc et du rayon vecteur de la projection; et le rayon vecteur de la projection coupe celle-ci sous un angle constant, ce qui est la définition de la spirale logarithmique.

70. Théorème XV. Toute courbe coupant^ sous des angles constants^ les génératrices d'un cône et celles d'un cylindre, dont elle est la commune intersection^ appartient nécessairement à un cône de révolulion, et, par sinte, est une hélice cjlintlrO'COf tique.

Démonstration. iMenons, en eifet, par le sommet o du cône., un plan xy perpendiculaire à la direction oz des génératrices

THÉORÈMES. Io3

(lu cylindre, et désignons par r et z les distances d'un point quelconque de la courbe au sommet du cône et au plan xj\ On a cette double expression de l'arc élément.iire de la courbe :

/G '^'' /< '^^ «■/S= — -1 flh=: 1

cos i ces /,

ici /, désignant des angles conslanls. II en résulle l'écpiation

«liiVérentielle

,ù- dz cos i cos /,

et l'équation, en termes finis,

r __s — C ros/ cos/|

de la courbe considérée , C désignant une constante. D'ailleurs une hélice, tracée svir un cône quelconque, ayant toujours le sommet du cône pour point asymptote, l'équation précédente doit être satisfaite par r = o et 3 = 0; la constante C est nulle, et l'on a simplement

cos i

COS/i

cos/, cos/

constante,

Et cette relation exprime que le cône qui renferme la courbe considérée est de révolution autour d'un axe oz parallèle aux génératrices du cylindre; ce qui suffit à la démonstration. (Vieille, Co/npléinetits fVylnalyse et de Mécanique, page 89.)

71. Théorème XVI. Si une courbe à double courbure ci la ligne des centres de courbure sont deux hélices tracées sur des cylindres parallèles, la courbe proposée est une hélice droite appartenant à un cylindre de rcvolulion, ou une hélice cylindro-conique. (Tissot, NoHi'eUes Annales de Mathé- ' niatiques^ iSSa, page 455.)

Démonstration. Soient en elïet AA' la courbe proposée.

I(j4 l'REMiÈUE PAUTie. CHAPITIIE SIXIEME.

ce la ligne des centres de courbure et SS' l'arête de i-ebroussement de la surface polaire relative à AA'. Cette dernière étant une hélice, il en est de même de SS', et le cylindre qui la contient est parallèle au cylindre contenant AA' : donc, par suite de l'hypothèse, les hélices SS' et CC appartiennent à des cylindres paiallèles. Or, on reconnaît facilement, par l'emploi de l'indicatrice, que « toute hélice CC, tracée sur un héliçoïde développable, et appartenant à un cylindre parallèle à celui qui contient rareté de rebroussemenl SS' de l'héliçoïde, est une trajectoire des génératrices rectilignes de la surface. » Donc, dans le cas actuel, la ligne des centres de courbure CC coupe, sous un angle constant, et les droites polaires CS, et les normales principales CA de la ligne A A'. Or on a trouvé [voir l'ormule (26), page 83)

sin CC',CA) = — »

et il en résulte pour le cas actuel la relation

— = constante; R I

on déduit dailleurs de la formule (aS) (i'o//'page 81),

R- -RI /r/R

Ry~ ' ^Rf ^~dS

et le rapp(nt— * étant constant, puisque la courbe est une hélice, on a simplement

— — -= L, = constante .

On parvient plus rapidement encore à ce premier résultat, par l'emploi de la formule

tang(CC,CA)=.-^ = -.-^,

qu'il est aisé de démon trei-.

Cela posé, si la constante C est nulle, Rj est constant et riiélice appartient à im cylindre de révolution : dans le cas

ÏHÉORÈMKS. ]o5

contraire, on rentre dans le théorème XIV , et la courbe est une hélice cylindi'o-coiiique.

Observation . Quand la ligne primitive est une hélice tracée sur un cylindre de révolution, on sait que la ligne des ceniresde courbure CC/et l'arèle de rebroussement SS' delà surface polaire, qui coïncident, sont des hélices de même nature que la première, tracées sur un cylindre de même axe (jue le premier; la ligne de striction de la surface gauche, formée par les normales principales, se réduisant à une ligne droite, coupée à angle droit par chaque génératrice, et qui est Taxe même du cylindre. Le théorème suivant, dont une partie seulement a été énoncée déjà par M. Tissol, met en évidence les propriétés analogues de l'hélice cylindro-conique.

72, Théorème X\ II. Dans toute hélice cylindvo-conique^ la ligne de striction 00' de la surface gauche des normales principales ^la ligne des centres de courbure CC, et l arête de rebroussement SS'de la surface polaire sont trois hélices cylindre-coniques^ appartenant à des cônes de même axe et de même sommet que celui qui contient la courbe pri/niti^e.

Démonstration, i). Nous occupant d'abord de la ligne de striction, soient 00' l'arc élémentaire de cette ligne, OOj =r;s la plus courte distance entre les normales principales AC , A'C;

/'la distance AO et m le rapport constant — ^ relatif à l'hélice

AA'. On a

rang(00',AC) = §,^=^^.

Or la ligne AA' étant une hélice dont les génératrices sont parallèles à la plus courte distance OOi, cette plus courtedistance u et l'arc élémentaire AA' = r/S sont dans un rapport constant;