OA R

on voit que le rapport -— = -^ étant constant, le rapport

égal — est constant, ainsi que le rapport

.Mais déjà, sur l.{ figure, le rapport - — et Tangle /><^/o, e\\\ pac sont ronslaiits: et

il résulte de tout cela (jue le rapport — et l'angle /^ac sont constants, et que le triangle pac est donné d'espèce. L'angle apc et le rapport — sont donc constants à leur tour, et le point c

décrit une spirale logarithmique, égale à chacune des précédentes aa'^ 00' ^ et de même pôle qu'elles. Il résulte, en outre, des relations précédentes entre les spirales ac^ et ce', et du parallélisme constant de AC et de <7c, que le point c décrit ime hélice sur le cylindre ayant pour base cc\ de la même manière que le point A sur le cylindre ayant pour base ad .

Les éléments correspondants des lignes ad et ce' étant, en effet, dans un rapport constant, on a

ce. si n 7

— ; — . =: constante :

AA .sma

et les projections sur Ce- et A rt des éléments correspondants CC et A A' étant égales entre elles, on a

CC'.cosv AA'.cosa on en déduit

tant; a

— ^- =: constante,

lanijv

et, par suite, y est constant comme a. On en conclut i[ue la ligne des centres fie courbure CC est une hélice cylindro-conique , de même axe que les précédentes , A A' et 00'.

3), Quant à Farèlc de rebrousscment de la surface polaire SS', SCS normales principales étant, dans tous les cas, parallèles à celles de la ligue primitive, et celle-ci étant une hélice dans le cas actuel ; SS' et A A' sont des hélices situées sur des cylindres parallèles-, et il en est de même des hélices SS' et ce : d où cette conséquence, déjà énoncée, que CC'est une trajectoire des génératrices roclilignes de la surface polaire. Il résulte de là que le trièdre formé au point C, par la droite CS, la tangente à la ligne CC et la génératrice Ce du cylindre con-

Io8 l'UEUlKRE l'AiniE. CHAl'lxr.iJ SlXlK.Mi:.

lenant CC , csl constant, ainsi que le dièclie suivant Cf. Uisi l'on projette, sur le plan de projection déjà employé, SS' et ce suivant ss' et ce', il est facile de voir que les droiti-s se c[ui sont tangentes à la ligne ss' , coupent la ligne ee' sous un angle qui mesure le dièdre précédent, et qui, par suite, demeure constant. Si donc on appelle y le centre de courbure en c de la spirale ce', que Ton joigne pc, py, ps et ey , on reconnaît que le quadrilatère cpys, bi-rectangle en /; et 5, est donné d'espèce, ainsi , par conséquent, que le triangle pcs. L'angle cps et

le rapport -^ sont constants^ le point s décrit une spirale logarithmique égale à chacune des précédentes, et de même pôle qu elles; et V arête de rehroiissenieul SS' fJc la surface polaiie est encore une hélice cylindro-conique , de même axe que les précédentes A A', 00' cl CC.

4). 11 est facile devoir, en dersiior lieu, que les cônes de révolution contenant les quatre lignes AA', OO'. CC et SS', ont même sonnncl P. Car si 1 on appelle P le sommet du cône contenant AA', et si Ton conçoit que le point A se rapproche indéCniment du sommet P, le rayon de courbure AC = Ri de A A', qui est proportionnel à la distance PA , tendra indétiniment vers zéio. Donc les trois côtés du triangle ACS, donné d'espèce, tendent simultanément vers zéro en même temps que le point A tend veis le sommet P. II en résulte que les sommets C et S de ce triangle, et le point O qui divise le côté AC dans un )aj)p()rt constant, tendent à se confondre avec le point A, pendant (|ue celui-ci tend lui-même vers le point P: et les hélices déciilcs par les points O, C et S ont, pour point asymptote commun , le sommet P du cône contenant Ihéllce AA'5 ce qui sullit à la démonstration.

Remarque I . La surface gauche formée pai- les normales principales de riiéllce AA' contient une infinité d hélices cylindro-coni(|ues, de mèir.e axe et de même sommet que la proposée; ces hélices peuvent se construire par jioints en divisant dans un rapport constant (|uelconrjue chaque rayon de

THKOr.EATrS. 1U()

coiiibiire AC de la ligne proposée; et elles soûl les lignes asyniplotiqnes de la surface (l'o//- ci-après le chapitre ÏX).

liemarque II. Les rayons de première et de seconde courbure de r hélice cyUndro-conique sont , en chaque point de cette courbe , proportionnels à la distance de ce point à un j}oint fixe P. Mais la récipro([ue n'est pas vraie, à moins que l'on n'ajoute la condition rpie le point fixe P appartienne , comme point asymptote, <à la courbe considérée.

73. Problème. Trouver la définition de la ligne à double courbure L dont les normales principales peuvent coïncider avec les normales principales (Pune seconde ligne L' ; et les relations métriques, ou descriptives, existant entre les lignes conjuguées L et L .

Solution, i). Cherchons, en prenn'er lieu, les relations descriptives qui peuvent exister entre les lignes L, L' que nous supposons avoir mômes normales principales.

Recourant, à cet effet, aux indicatrices sphériques de ces deux ligues, nous remarquerons que les lignes considéiées ayant mêmes normales principales, la ligne sphérique nui, lieu des cxlrémitcs des rayons parallèles <à ces normales, doit Fig. 34. être la même pour les deux courbes

L et L'. Il en résulte, d'après la génération de la ligne nUi au moven (le chacune des indicatiices //,, //', [roir page 78), que les arcs de giand cercle nt., nt' sont des quadianls, et sont en outie tangents aux indicatrices^/,, i't\. Donc l'arc de grand cercle ti' joignant deux points correspondants cpielconques de ces ligues est normal à l'une et à l'autre-, les deux indicatrices ont même développée sphérique, et Tare de grand cercle normal /f', compris entre (es lignes, conserve une valeur constante. Or cet arc mesure l'angle tôt' ou srui égal, l'angle des tangentes aux lignes L. 1/ n7ences par des points correspondants de ces lignes. Nous arri-

I lO PUEMIEUE rAI'.TIE. CIlAPITUE SIXIÈME.

VOUS donc à ce résultat, qui subsisterait encore si les normales principales des deux lignes, au lieu de coïncider, étaient seulement parallèles : Les tangenics des deux lignes cotijiiguéesh, L', menées en des points correspondants de ces lignes , font entre elles un angle constant. La figure sphérique fournit d'ailleurs une première expression de la tangente de cet angle constant© : car en désignant par t: le centre de courbure sphérique des deux indicatrices pour les points t et ?', on a

et, par suite, puisque Ton a

tani

Ra

tangG'=|^

R, et Ha, R, et R'^ désignant les rayons de première et de seconde courbnie des lignes L, L'.

2). Revenons, en second lieu, à la figure primitive composée des lignes AB, A'B'et de leurs normales principales communes A A', BB'^ et chercbons de nouvelles expressions de Tangle des éléments correspondants AB, A'B' de ces lignes, que nous savons demeurer constant.

1". A cet effet, C étant le centre de courbure de la ligne AB pour le point A, décrivons du point C comme centre, et dans

le plan oscillateur en A, ACB, le petit arc de cercle A' b' terminé à la droite CB prolongée, et joignons B7/. On voit aisément que la portion de normale ]>rincipnl(\ AA' ou BB , comprise entre les deux courbes, conserve u/n- longueur constante, cpie nous désignerons parla lettre/?. Il en résulte que BB', B//ne diffèrent que d'un infiniment petit du second ordre; et que la droite ]\' b' , d(''j:i située dans le plan normal en B etfai-

XriEOREMES.

sanl avec Bb' un angle infiniment peu diiïérent d'un droit, peut être considérée comme perpendiculaire au plan osculateur ACB ou A'CI)'. Dès lors les triangles infinitésimaux A7/B', rectangle en b' et dans lequel l'angle en A' est égal à l'angle o,

Fig. 35

B'B^' et A'C//, dont les angles en B et C représentent les angles de torsion et de contingence, H et E, de la ligne AB, nous donnent successivement :