B'//=H.BB'=H A

C'' / A'*' E.CA' E(li, + «)'

De là, en multipliant membre à membre et simplifiant,

laiii;^ ;=

R, ji__

on enfin

2°. Effectuant ensuite une construction analogueau point C, centre de courbure de la ligne A' IV pour le point A', les triangles infinitésimaux AèB, rectangle en ^, et dans lequel l'angle en A est égal à l'angle ç ; BW h et ACb, dont les angles en B' et C représentent les angles tle torsion et de contingence. H' et E'. de la ligne A'B', nous donneront de même :

tangtp =

Ao

d'où

tangy —

et si 1 on réunit les résultats prérérlents dans un même énoncé, on obtient cette pioposition :

Théorème XVIII. Si les normales principales d'ivie ligne L sont en même temps les îiormales principales iV une seconde ligne L\ i° les tangentes menées en des points correspondants de ces lignes font entre elles un angle constant (ç); i° il existe entre les rayons de première et de seconde courbure de ces lignes, pris isolément ou collectivement , les relations suivantes :

(0 tang, = — ^ = =..^^__,

'-^r; '-r\ '-^rt-r:

o et n désignant des constantes.

Observation. Les formules précédentes, ou du moins des formules équivalentes, ont été découvertes par M. Bertrand i\on Journal de MalJiémniiques, tome XV , page 332 ; iSoo). On voit que la première de ces formules exprime que, entre les deux courbures d'une ligne possédant la propriété énoncée, il existe une relation linéaire. M. Bertrand écrit celte relation sous la forme

-l iL — R, rT" ''

la constante C restant indéterminée, et sa signification géométrique demeurant inconnue. Les relations (i) permettent de

lever cette indétermination, et donnent C = pour la va-

leur de cette constante.

Corollaire. Si on suppose Tangle o égal à un droit, les formules générales ( i ) se réduisent à celles-ci :

relations déjà trouvées, dans l'un des numéros précédents, entre une ligue L dont la première courbure est constante, et la ligne L' lieu dos fcntrcs de courbure de la première.

TIIÉOUEMES. Ïl3

7i. Théorème XIX. Réciproquement, s'il existe entre les deux courbures d'une ligne AB une relation linéaire, on peut construire une seconde ligne A'B' ayant mêmes normales principales que la première j et il existe entre les rayons de courbure de ces lignes, outre la relation supposée^ les autres relations exprimées par lafornmle [i) de la page précédente.

Démonstration. Mettons la relation donnée sous cette forme :

(i) =C = constanle,

et, la constante n étant, pour fixer les idées, supposée positive, portons sur le prolongement des rayons de courbure de la ligue AB ou L, à partir de cette courbe, des longueurs AA', BB', . . . égales à la ligne « : les points ainsi obtenus formeront une courbe A' B', ou L', située toute entière sur la surface gauclie S formée par les normales principales de la courbe L, et coupant à angle droit les génératrices de cette surface. Or nous allons établir que la ligne L', ainsi définie, a mêmes normales principales que la ligne L.

Et d'abord, les tangentes menées en des points correspondants A et A' des lignes L et U, font entre elles un angle constant, dont la tangente trigonométrique est précisément égale à la. constante C {yoirXa. figure de la page 1 1 1).

Soient, en effet, O le point central de la génératrice AA'^ OO' la plus courte distance entre A A' et la génératrice infiniment voisine BB'5 ^, 4>' les inclinaisons des plans tangents de la surface S en A, A' sur le plan tangent en O, inclinaisons mesurées par les angles que forment avec 00' les tangentes des lignes L, L' aux mêmes points; (p = 4>' — ^ l'inclinaison mutuelle des plans tangents en A, A', ou des tangentes aux lignes L, L' aux mêmes points; et soit enfin A le coefficient de distribution des plans tangents de la surface S pour la génératrice AA'.

Il4 PREMIÈRE PAB.TIE. — CHAPITRE SIXIÈME.

On a, comme on sali (i'OiVpage lo, n" 9),

lang «P = A . oA , tang (!>' = /,. oM =^ k (oA + li) ;

ianiic)= tangf'l' — <tj= — = z= •

I +/-'.r;A.oA' i H/.-.oA^+/^oA.«

ou

(a) *'^"S^=7T"(y;..oA)-^-|-../. (/-.oA)

D'un autie côté, ^ n'étant autre chose c[ue l'inclinaison, sui* le plan osculateur de la ligne AB, de la plus courte distance entre deux normales principales consécutives de cette ligne, on a [voir la formule 23, page 79),

tanga'=tangG = --, et, par suite,

enfin on a trouvé pour le coefficient A {voir la formule 24page 81), Texpression

et si on remplace h.oA et k par ces valeurs dans la formule (a). il vient

d'oùj en réduisant au même dénominateur et simplifiant.

tang Q

Ainsi la tangente de Tangle tp a précisément pour valeur cette fonction des deux courbures de la ligne AB qui demeure cons-

lanie d'après rhypothèsc exprimée par la rolalion (i)- et, par suite, Vangle cp est constant : or ce résultat est suflisant pour établir que les droites A A', BlV, . . . qui sont déjà les uorinalcs principales de la ligne AB, sont aussi les normales principales de la ligne A'B' {voirla. figure de la page 109).

Considérons, en effet, les indicatrices sphériques tt^ t't\ des lignes AB, A'B'^ et soit iin^ la ligne sphéri({ue formée par les extrémités des rayons on parallèles aux normales principales de la seule ligne AB, ou aux génératrices de la surface gauche déjà considérée. Les tangentes en A, A' des lignes L, L'étant toutes les deux perpendiculaires à la génératrice AA', le rayon 07Î, parallèle à cette dernière, est perpendiculaire au plan tot'-^ le point n est le pôle de l'arc de grand cercle tt\ et l'arc 7it est perpendiculaire à l'arc «', qui demeure, par suite, toujours normal à la ligne tt^ : cet arc II' est d'ailleurs constant, puisqu'il mesure l'angle constant des tangentes aux lignes L, L'; on vient de voir qu'il demeure toujours normal à la ligne f/, décrite par son origine ?, il demeure donc pareillement normal à la ligne t't\^ décrite par sosi extrémité t' . Les indicatrices des lignes AB, A'B' ont donc même développée sphérique ; par suite la ligne sphérique des normales principales^ nn,, est la même pour les deux courbes AB, A' B', et les normales principales de ces courbes sont parallèles. Enfin, la normale principale en chaque point A de la courbe AB passant constamment par le point correspondant A' de la courbe A' B', la normale principale de celle-ci, qui passe par le même point ei qui est parallèle à la première, se confond avec elle; et les deux courbes ont mêmes normales principales.

75. Théorème XX. Si les normales principales d'une ligne L sont en même temps normales principales de deux autres lignes distinctes, h' etL", chacune de ces lignes est une hélice tracée sur un cylindre de réi^olution ^ et la surf ace formée par leurs normales pri/icipales est un h élicoïde gauche à plan direcleur.

Démonstration. Désignons en ellét par ti! et n" les portions

ii(7 l'HEvrikni; partie. — chapitre sixième.

cunsta/Uci des t^cncvalv'ices de la surface gauclic dos normales, comprises entre la courbe L cl eliacune des courbes L' et h" -^ par <^' el a" les angles constants des tangentes de la ligne L avec les tangentes con'espondanles des lignes U et L". En appliquant la première des relations contenues dans la formule (i) du n" 7^ [voir page 1 1 2) à chacun des deux systèmes formés par les lignes L et 17, L et L", on a

(?.) fang<p = -^;

et ces relations, n'étant autre chose que deux équations du

premier degré entre — -> --et des constantes, assignent à chan, Kj

cune des deux courbures de la ligne L une valeur constante : la ligne L est donc une hélice tracée sur uu cylindre de révolution 5 il en est de même pour chacune des lignes 17 et L", et la surface formée par les normales principales, communes à ces lignes, est un héliçoïde gauche à plan directeur.

Corollaire I. On déduit aisément des résultats qui précèdent, la démonstration du théorème suivant, établi d'abord par M. Catalan (^Journal de Mathématiques^ 184 2, P^S^ 2o3) :

Toute surface réglée dont les rayons de courbure sont en chaque point égaux et de signes contraires, est un hélicoide gauche à plan directeur. On peut même donner plus de généralité à l'énoncé, en disant que : S'il existe sur une surface gauche trois lignes L, L', \J' coupant à angle droit les génératrices de la surface, et en chaque point desquelles les rayons de courbure de la surface soient égaux et de signes contraires, la surface est un héliçoïde gauche à plan directeur.

Il suffitj en elïet, pour démcntrei' cette dernière proposition,

■IHEOREMES. I I 7

de remarquer qu'on vertu de l'hypothèse, et d apiès ies tliéorèines d'Euler et de Meunier, les plans osculatcurs de eliacune des lignes h, L', L", coïncident avec les plans tangents à la surface. Il en résulte que les normales principales de ces lignes coïncident avec les génératrices rectilignes de la surfat e : ces trois lignes ont donc mêmes normales principales ^ chacune d'elles, d'après le théorème précédent, est une hélice appartenant à un cylindre de révolution -, et la surface est un héliçoïde gauche à plan directeur.

On trouve dans un Mémoire de M. O. Bonnet une démonstration analogue [Journal de V Ecole Polyleclinique ^ 1848, page i34).

Corollaire II. Enfin le même théorème, comhiné aveccelui du numéro précédent, conduit à la séparation en trois classes, déjà établie par M. Bertrand, des surfaces gauches formées par les normales principales des lignes à double courbure : Jm première classe renfermant les surfaces dont les génératrices sont les normales principales d'une courbe unique ,• la seconde, les su/faces dont les génératrices sont les normales principales de deux courbes distinctes ; et la troisième enfin^ les sinfaces dont les génératrices sont les normales principales d'une infinité de courbes, cette dernière classe ne contenant que les hélicoïdes à plan directeur, [Journal de Mathématiques^ i85o, page 332.)