CHAPITRE Ml
DKS LIGJNES TUACÉES SUR CWE SURFACE DE REVOLUTION. — SECTIGJNS
PLAJVES. LIGNES ET CERCLES GÉ0UÉS1QLE5. LOXODROMIES
ET LIGNES d'ombre.
76. L'équation en coordonnées polaires de la section dicnne d'une surface de révolution étant
(I) /(p,sinw) = o.
mert-
Il8 PREMIEHE PARTIE. CHAPITRE SEPTIEME.
l équation de la sec/ion de celte surface par un plan incline de l'angle a sur Véquateur, sera.
(i) ./(&', sin 7.. sinw'j = o :
l'origine des rayons vecteurs o et ^ étant le point d'intersection du plan sécant et de Vaxe^ et les angles co, w' étant comptés, dans le plan méridien et dans le plan sécant, à parti}' des perpendiculaires à l'axe situées dans ces plans.
applications, a). La surface considérée étant im tore; el le plan de la section, mené tangentiellement à la surface par la projection sur l'axe du centre de la section méridienne : on aura, au lieu des équations générales (I) et (i) ,
(I') p- — 2(7 cosw.pH-«-cos'- 7. = o,
(i') p'- — 2rt v I — sin^asin-o/.p' H- «-cos-a^o.
Or celte dernière équation peut prendre, successivement, les formes suivantes :
p =r rz y 1 — smasin^o) rtycsin a — rt'sinasmo) =1/7 V^i — sin'asin-&/zt«sinacosw',
(p'zp^r sinacosw' - = «^(i — sin-asin* w'), p'^riiart sin acosr./. o' -\- «-sin-a — (7- =r o;
et enfin
;2«sinacosw'. o — «^ cosV.
équation du système de deux cercles, (jui démontre le théorème de M. Yvon Villarceau.
b). Soient encore
(I") p =: v'cosa « = v'i —
Ti. sm- w
1 équation d'une lemniscatc de Bernoulli, prise pour section méridienne d'une surface de révolution : et
2 sin- :i sin'
1 équation de la section de la surface par un plan passant par le ccnUe de la lemniscatc méridienne, el incliné de Tanglc a sur
SURFACES DE ItÉVOLUTlON. IIQ
l'équaleur. Si l'on pose sina=— =? auquel cas l'angle a osl de
45 degrés, et le plan de la section est tangent à la surface, comme dans le théorème précédent; il vient simplement
r/ = ± y/ 1 — sin- w = zt COS w
pour équation de la section considérée, qui est encore le système de deux cercles. On peut d'ailleurs parvenir géométriquement à ce résultat en remarquant que la surface actuelle est la réciproque, relative à l'origine, d'un hyperboloïde de révolution à une nappe, lequel est coupé par le plan sécant considéré suivant deux génératrices rectilignes, parallèles entre elles, et ayant pour réciproques deux circonférences passant par l'origine, et mutuellement tangentes en ce point.
77. Lignes géodésiques. L'équation générale des lignes géodésiques d'une surface de révolution
(34) ^sin / =r constante,
déjà établie dans le chapitre VI, peut être obtenue plus simplement encore par la méthode de Madaurin (*).
Lemme. Parmi tous les triangles rectangles cojistruils sur un côté donné de l angle droit, celui pour lequel l excès du temps employé à parcourir V hypoténuse avec ujte vitesse donnée \, sur le temps employé ci parcourir le second côté de V angle droit ay^ec une ^vitesse Vj supérieure à v, est un minimum^ — est celui dans lequel le sinus de r inclinaison de r hypoténuse, sur le côté donné de l'angle droit, est égal au rapport -
des vitesses données. Et celte propriété de minimum subsiste encore, dans les mêmes conditions^ pour des triangles curvilignes infiniment petits tracés sur une surface quelconque [Des méthodes, page ii3).
Supposant ce Lemme établi , et lemarquant que , poui
(*) Voir Trailé des Fluxions, toiïn^ II, 11°' 572 cl sitiv. ; cl des Méûiudcs Gcométric, Mallct-Bachclicr, i8j5, pa^fc 112.
I20 PREMlknE PARTIE. CHAPITRE SEPTIÈME.
toutes les lignes réunissant le point A au point B^, la somme Iclw des angles consécutifs formés par les méridiens qui
aboutissent aux points successifs A,... M, M',..B de ces lignes, est constante^ on verra que la ligne géodésique cherchée, pour laquelle / MM' est minimum, coïncide avec la
ligne pour laquelle la ditîerence / MM' — / / d'u est minimum,
"k désignant un coeflicient constant. D'ailleurs, cette différence totale sei'a rendue minimum, si Ton rend minimum chacune
des différences élémentaires MM' — ). . (7w = MM' — X , — -'
dont elle se compose : /• désignant le rayon du parallèle du
point M'; et M'a' étant la projection sur ce parallèle de
Tare élémentaire JMM' de la ligne considérée. Enfin, si l'on
Fig. 3G. conçoit que la zone totale comprise entre
§les parallèles extrêmes ait été décomposée en un très-grand nombre de zones partielles par une série de parallèles inlermédiaires, la série de ces parallèles étant la même pour toutes les lignes qui joignent le point A au point B : on pourra regarder comme donné l'arc Mp/ deméi'idien compris entre les parallèles des points M, M'-, et l'on verra dès lors que la différence
,,, . ,,,,, . M'u.' MM' W j.' . .
élémentaire MM — / — '- = — sera minimum,
d'après le Lemme, si Tinclinaison i de l'arc MM' sur le méridien est définie par l'équation
ou
/•sin / = "/ = constante. c. q. f. d.
Remarque I. L'équation précédente s'applique encore d'une manière plus générale aux lignes géodésiques d'une classe de
SURFACES DE KÉVOLtJTION. 121
surfaces, étudiées par Monge, et comprenant les surfaces de révolution : nous voulons parler des surfaces dont les lignes de première courbure sont planes et situées dans des plans parallèles. On sait cpie les ligues de seconde couibure de ces surfaces sont également planes, perpendiculaires aux plans des premières, et superposables entre elles : les lignes de première courbure, projetées sur le plan de l'une d'elles, ayant en outre même développée. Cela posé, en cJiaquc point dune ligne géodèsique d'une pareille surface, le rajon de courbure de la ligne de première courbure, et le sinus de V inclinaison de la ligne géodèsique sur la ligne de seconde courbure, sont les facteurs d^un produit qui demeure constant dans toute retendue de la ligne géodèsique considérée. La démonstration précédente s'applique, à peu près sans modification, à la proposition actuelle.
Remarque II. La même équation conduit encore à cette conséquence dont la démonstration est facile, et que nous nous contenterons d'éuoncer : Les côtés dun triangle géodèsique quelconque., tracé sur une surface de révolution .^ forment, uvec les lignes méridiennes qui aboutissent aux trois sommets, six angles distincts; le produit des sinus de trois de CCS angleSj, non adjacents, est égal au produit des sinus des trois autres.
Remarque 111. Enfin cette équation conduit encore à ce résultat qu'une même ligne tracée sur une surface de révolution ne peut être à la fois une loxodromie et une ligne géodèsique de la surface : exception faite toutefois du cylindre parmi les surfaces de révolution, ainsi que de l'équateur et des sections méridiennes dans cbaque surface. Il en résulte, sous les réserves mentionnées, cette généralisation d'une propinété négative, bien connue de la loxodromie spliérique : quelle que fût la nature de la section méridienne du solide terrestre., supposé toujours de révolution., la ligne parcourue par un Daisseau qui suit constamment un même rumb de vent, oblique au méridien, ne saurait jamais être la ligne la plus courte entre le point de départ et le point d'arrivée.
122 PREMIERE PAUTIE. CHAPITHE SEPTIÈME.
78, Expression de V angle de contingence gèodésiqiie d^tne ligne quelconque. Que l'on mène, par deux points infiniment voisins A et A' d'une courbe quelconque tracée sur la surface de révolution, deux lignes géodésiques tangentes à cette courbe en ces points, se rencontrant en T, et formant en ce point un angle infiniment petit qui est, par définition, l'angle de contingence géodésique Eg relatif à l'arc AA' de la courbe considérée. Si l'on mène le méridien du point T, et que l'on appelle /, I les inclinaisons de la première ligne géodésique sur les méridiens des points A,T, et i' ,Y les inclinaisons de la .seconde ligne géodésique sur les méridiens des points A' et T 5 on aura, d'après le numéro précédent,
RsinI := ;sin /, Rsinl'= /' sin/', d'où
sini rsini
sinl' /-'sin/'
7',r' et R désignant les ra^^ons des parallèles passant par les points A, A' et T. On déduit de la dernière relation, en remarquant quel — l'i^Eç, et <|ue les angles \,V ,i' et / sont infiniment peu difféienls les uns des autres, ainsi que les rayons r,/-' et K,
cos .
2 — f/(/sm?)
sinl — sinl'
/sin /
sin /'
sinl'
'sin/'
et enfin
<^/(/sin/) /•ces/
Le problème suivant va nous offrir une application de celle formule.
79, ProblÎiME. Parmi les lignes, de longueur donnée, qui sur une surface de résolution réunissent deux points donnés, trouver celle qui enueloppe une aire maximum.
Solution. Imaginons t[ue la zone totale comprise entre les parallèles des points extrêmes A et B ait été décomposée en un très-grand nombre de zones })artiolles , par une séri<'
