MM'
/ R — pt
et comme lare Mf/' de méridien compris entre les parallèles des points M et M' peut être regardé comme donné, cette der-, nière différence sera minimum, d'après le Lemme, si l'inclinaison i de l'arc MM' sur le méridien est définie par l'équation I "/R — ,w
(.r) y R zns y. -+- /-sin /.
Différentiaut celle équation, et lemarquant qu(!,
aireMi/!\l >' •rh-^dT
<IK= f =-. = rr/r:,
fffj> fh,)
124 PnEMILP.E PATITIE. CHAPITRE SEPTIEME.
r/o- désignant l'arc correspondant My! du méridien, il \ient, successivement,
A.fd<7=.d{/-smi), '/..rcosi.dS = r/(/-sin/; ,
). r cos i d'où, eu divisant par l'équation (33 bis) delà page 122,
[J^ ) ,--=- = constante :
ce qui démontre que /a courbure géodésique de la ligne cheichée est consLanlej et ce résultat, comme on sait, demeure vrai pour une surface quelconque.
80. Des loxodromies. Si rapportant chaque point d'une surface de révolution à un parallèle et à un méridien fixes ox et oj, on désigne par j Tare du méridien passant parce point terminé au premier parallèle, et par x l'arc du parallèle passant par le même point et terminé au premier méridien, on trouvera immédiatement
dx 1^ tang i .d) , et
(3) ^ = j. tang/
pour équation d'une loxodromie passant par l'origine des coordonnées. L'aire interceptée entre le premier méridien, la trajectoire et un parallèle quelconque, a pour différentielle, dans le même système,
.rd) = tang/. )//)■;
et Ton en déduit, pour Taire elle-même,
(4) « = — .) ' • tang/.
De la forme de Téqualion (3) il résulte, ainsi que l'a fait remarquer M. l'abbé Aoust [Journal de Mathématiques, tome XI, 1846, page 184), que la loxodromie joue, sur une
SURFACES DE RÉVOLUTIO?. , 125
surface de révolution, le même rôle que la ligne droite dans îe plan. En particularisant cette observation générale, on [parvient aux résultais suivants :
1. Les loxodroinies issues d'un même point de la surface déterminent sur un parallèle quelconque des arcs proportionnels.
2, Les sommets d un triangle variable, formé par des loxodromies, glissant sur trois parallèles donnés, et les deux premiers côtés tournant autour de deux points donnés., le troisième côté, ou côté libre, passe continuellement par un troisième point fixe.
81 . Rayon de courbure géodésique d'une loxodromie. iSous avons trouvé dans le chapitre précédent \^voir page pS, formule (33) j, pour l'angle de contingence géodésique cVunc ligne quelconque tracée sur uiie surface de révolution,
E^ = E cos a =: dl zh cos 0. da :
cette équation devient, en supposant que la ligne considérée soit une loxodromie, et négligeant les signes,
On a d'
/' désignant le rayon du parallèle passant par le point considéré; et si l'on substitue cette valeur dans la formule précédente, il vient
' suj i cos 9
pour le rayon de première courbure géodésique d'une loxodromie : cette formule renferme celle qui a été établie précédemmeni pour la loxodromie spliérique.
E^= cos Q. do,
R ^/S dS
' '^ E. ' cos S . d M
illeurs
ia6 PKEMIÈRE PAnxrE. CHAPITRE SEPTIÈME.
82. Des lignes (roinhre. reiatwes à des rayons incidents parallèles.
a). Recourant au mode de représentation sphériquedes lignes tracées sur une surface de révolution déj.à employé dans le chapitre VI, considérons l'indicatrice sphérique aa' d'une ligne d'ombre AA', et soient z ,p les extrémités des rayons de la sphère parallèles à l'axe de la surface et à la direction des ^. ^ rayons lumineux incidents : menons les
arcs de grand cercle zp , pa, pa qui re- /\ présentent, le premier, le plan de la sec-
/ A tion méridienne principale, parallèle aux
rayons incidents ; le second et le troisième, \ / /' les plans tangents en A et A' 5 abaissons
\| enfin perpendiculairement sur /7a l'arc za,
dont le plan est parallèle au plan de la section méridienne en A, et qui mesure le complément de l'inclinaison 9 de la tangente en A de cette section sur le rayon du parallèle correspondant.
Le triangle sphérique rectangle zy.p donne
cos w =: cot zp . tang z a = cet zp . col 0 ,
(6) cosw =r //? cotG;
171 désignant une constante, et w représentant l'inclinaison du plan de la section méridienne, cjui passe par le point A de In ligne d'ombre considérée, sur le plan de la seciion principale. On déduit facilement de cette formule, comme nous allons le voir, les équations des projections de la ligne d'ombre sur le plan de la section méridienne principale et sur un plan perpendiculaire à l'axe. Soit d'abord, à cet effet,
(VII) /{r,colfi) = 0
l'équation de la section méridienne, entre les coordonnées particulières /' et 0, dont la première désigne le rayon du parallèle : sionélimine 0 entrelcs équations (6) et (VII), on anira^pourlu
SURFACES DK RÉVOLUTION. l'J.J
projection d'une ligne rVonibre sur le plan de l'ér/ualeur,
I \ ^i cosw\
En second lieu, réquation (VU) de la section méridienne principale pouvant s'écrire
(vir) /
si on élimine r entre celte équation et la suivant»
dr
r COS o) =: 7- . «i cet 0 =r ?• . m
(7 ) '■ =ni.-—
l'équation résultante en r' et z représentera la projection delà, ligne d'ombre sur le plan de la section méridienne principale : les coordonnées z et i^ étant comptées, la première parallèlement à Taxe de la surface, et la seconde perpendiculairement à cet axe.
83. Application. Théorème. Toute surface de ré\>olution qui admet une ligne d'ombre plane est nécessairement une surface du second degré. (De la Gournerie, Journal de l'Ecole Polytechnique.)
Démonstration. Le plan de la ligne d'ombre considérée devant être, à cause de la symétrie, perpendiculaire au plan de la section principale, la projection de cette ligne sur ce plan sera une ligne droite dont l'équation pourra s'écrire, en disposant convenablement de l'origine,
/■' = HZ ,
et si l'on porte cette valeur dans l'é({uation (7'), il vient, pour l'équation différentielle de la section méridienne,
a . zclz z=: m . rdr.
l'J.b PREMIERE PARTIE. CHAPITRE SEPTIEME.
d'où, pour la section méridienne elle-même,
az- = r/i , r' + C :
équation d une courbe du second degré, dont l'un des axes coïncide avec l'axe de la surface.
84. On peut, dans certains cas, reconnaître d'une manière très-simple, et sans aucun calcul, la nature des projections sur le plan de l'équateur, des diverses lignes d'ombre d'une surface de révolution.
Imaginons, en effet, deux surfaces de révolution, construites sur le même axe, et ayant pour section méridienne deux courbes égales àoïU on pourrait effectuer la superposition à l'aide d'un mouvement de translation, dirigé perpendiculairement à l'axe, que l'on attribuerait à l'une d'elles. Si l'on appelle points correspondants de deux pareilles surfaces les points de ces surfaces situés sur un même rayon perpendiculaire à l'axe, il est évident que les plans tangents en des points correspondants de ces surfaces sont toujours parallèles : et il résulte, en général, de ce parallélisme que les lignes d'ombre des deux surfaces, relatives à une même direction des l'ayons incidents, sont deux lignes correspondantes. Si l'on suppose-, en particulier, que la première des deux surfaces considérées soit un paraboloïde de révolution, ou une sphère, on obtiendra les résultats suivants :
I . Dans la surface de révolution engendrée parla, rotation d\ine parabole autour de Vun quelconque de ses diamètres., les lignes d'ombre relatives à des rayons incidents parallèles se projettent .f sur im plan perpendiculaire à l'axe, suivant des conclioïdes.
'1. Les lignes d'ombre du tore, projetées sur le plan de Véquatew\ donnent naissance à des conclioïdes à base elliptique, que Ton peut construire en prolongeant, d'une longueur constante, les demi-diamètres d'une ellipse ayant pour centre le pied de l'axe sur l'équateur.
SURFACES DÉVEI.OPPABLES.
