Lemme. Le rayon de courhure séodésique^V

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d'une ligne tracée sur une surface est égal au rayon de courhure ordinaire^ R', de la courbe plane suivant laquelle elle se transforme par le développement ^ sur un plan, de la surface développahle circonscrite à la proposée suivant cette ligne.

Démonstration, Construisons l'indicatrice spliérique aa^ de la ligne considérée AA, , et menons par le centre de la sphère des rayons og, ogi parallèles aux génératrices AG, AjGi de la surface dévelop-

pable. Les arcs de grand cercle^, ^i^i, se coupant en /, seront parallèles aux plans tangents en A, Al de cette surface; ils seront tangents en outie à la ligne ggi : car cette dernière n'est autre que l'indicatrice de l'arête de rebroussement de la surface développable ; et Ton sait que les plans tangents de l'une coïncident avec les plans osculateui's de l'autre. Dès lors, en posant

Fig. 38.

rt«, = E, ggy = Aij,kii^i = dQ, ag — i^ aigi = i-i-di^ et décrivant du point i, comme pôle, l'arc de petit cercle «a, on trouve

xa,

aa, . cas a .

Ains

di -+- ^/ 6 = E cos a ; ./S R, r/S

F. cos a

Ri

COS n

di

dB

cos«

dS

di -\-dh

l3o PI.EMIÈRE IwraiE. CUAPITKE HLITIÈME.

a désignant l'angle sous le(|ucl l'arc ga coupe la ligne ««i , ou l'inclinaison du plan tangent en A sur le plan osculatcur de la ligne AA,. Or, si l'on développe sur un plan la surface AGGi Al 5 dSydi et dQ ne cliangent pas de valeurs ; di-hdO représente l'angle de contingence E' de la ligne A A, transformée, et la formule précédente devient

cos a E