Formules relatives aux courbes tracées sur un cy- Undre
AAi étant une courbe quelconque tracée sur un cyliudrc, désignons par i et a les angles que la tangente et le plan osculatcur de celte courbe en A forment respectivement avec la génératrice et le plan tangent du cylindre au même point; par i-hdi, a-\-da les grandeurs analogues pour le point A] ; et soient o et r/w le rayon de courbure de la section droite du cylindre en A, et l'angle des plans tangents en A,Ai : dS désignant l'arc élémentaire de la courbe AAj , on aura d'abord
r/S.sin/ [n] rf td =
Si l'on construit ensuite lindicalrioe sphérique aa^ de la
FijT. 39. courbe AAj , et si ayant mené le rayon og
« de la sphère parallèle aux génératrices du
^^\^"^>/->-? cylindre, de son extrémité g, comme pôle,
"wj A on décrit l'arc de petit cercle a«, terminé
\! 1 aux arcs de grand cercle ga, ga^ 5 le triau-
'■■...y gle rectangle fla«, fournira les relations-
sin/.c/w (Il
sm a = — 5 cos a =z — — ,
et si l'on remplace d (j) par sa \aleur [a), il vient
(3o) sin rt =r ,
(3'j) C()Srt = — , ou 1*"^, = — (II.
SIRFACES DÉVELOPPAliLES. .i3j
On a d'ailleurs,
(38) tang/ =
H + da
on remarquant que l'interseclion des plans taugerils menés par les points A, Ai a pour limite la génératrice du point A, et appliquant la formule (i4) sur les enveloppes sphériques, obtenue à la page 49 '■> et si l'on multiplie membre à membre l*!s relations (36), (38), on Irouve, en simplifiant,
R,.E.sin/
p(H +dn)
s'mi
fj
•^ . sin/
. ces?
pour le rayon de seconde courbure géodésique de la (ouibe <'onsidérée.
Enfin, si l'on abaisse l'arc gp z=: p z=z u perpendiculaire
sur le grand cercle tangent en a à la ligne acii , la tangente trigonométrique du rayon de courbure spli^rique de l'indicatrice «<7, , ou le rapport — ^ des deux courbures de la courbe
primitive AAi, a pour valeur — — ^ — -■, ou. suivant la nota- ^ 1 ' r \ f/.sin/»
tion actuelle ) — ; — r-^ = -r ' d'après la formule (o") de
/ d. s\n/j d.cosa ^ ^^ '
la page 4^5 de sorte que l'on a
R^ d . cose'
R, d. rost
Cette élégante formule, déjà obtenue par M. .T. -A. Serret^ fait voir que le rapport de la première à la seconde courbure dune ligne quelconque est mesuré par le rapport des différentielles des cosinus des angles que forment, avec une même direction fixe, la tangente de la courbe considérée et la droite polaire correspondante. [Journal de Mathématiques:, i85i. i. XVI, p. 195.)
1)1 l'UEMlÈPvF. TAUTIE. CHAPITHE FIUITItME,
Si 1 on pose (4o) p ■= ronslaiilc, on si l'on, suppose le cy-
liiulre de révolulion, et (jirnyanl (lillercnlic î'équalion {'^6)■
on remplace dans réijualion lésiiltanle di et da par les valenrs
„ Esin« — li lang/ , , , .
— E ros a cl ^ tireesdcs relations {.^7) et (08). on
tang/ ^ -" \ ''
ironve, après quelques transformations, cette dernière formule
^^ ' db sni'< (l\, \
Observation. Il convient de remarquer que les arcs ga de la ligure sphérique actuelle doivent aller en décioissanl, quand on passe de a en a^ sur la ligne spîiérique aa^ ; ou, en d'autres termes, que la difi'érentielle di doit être négative. Cette condi lion, en efifct, était remplie parla figure 20 delà page 4.Q, siu
la([uelle nous avons obtenu la formule (38), tang/= ,
et l'on reconnaît aisément que cette dernière devrait être écrite
tangi = ^7^ — si Ton supposait positive la différentielle di.
Remarque, L arc de grand cercle tangent eu un point quelconque a de l'indicatrice représentant le plan oscillateur de la ligne cvlindiique considérée, et l'arc ga qid joint le point g au même point a représentant le plan langent au cylindre 5 on voit que si l'indicatrice spliéiique passe par le point g, le plan osciJateur au point correspondant de la ligne primitive et le plan tangent du cylindre qui la contient, au même point, feront un seul et même plan. Donc, si la tangente en un point d\tne courbe de V espace est perpendiculaire au plan de projection (et dans ce cas la courbe est tangente en ce point à la génératrice du cylindre proj(Uant), la tangente au point correspondant de sa projection sera la trace sur le plan de projection du plan osculnleur de la courue primitive au point considéré : proposition due à M. Chasles ; ramenant, comme on le voit, la conslruclion de la tangente de la projection d'une courbe, au point où lélémenldfi la courbe est perpendiculaire au plan de projection, à la détermination du plan osculaîeur de la ligne
SUniACES UÉVliLOPrABLES. 1 33
<jue l'on projeiio^ et donnant, par cette lédueiioii inènie, l'explication de rinefficacilé des méthodes ordinaires, dans le «as particulier en question. (Voyez Journal de Malhèmaii- (jues, 1837, ton^e II, page 293.)
JÎpplkaiioiis.
<S7. Posons i=z conslantc : la courbe AA, devlenl une liclice, la torninle (37) montre «picrt = - ■, les formules (3(>) <l (38) donnent
Ri = . „ . 1 — - = laii^; / =1 coiisiaiile ; sm'/ R, °
i.'t i on voil que, si le cylindre esi de révolution, R, et R, sont >éparénicnt constants,
88. Posons p = constanle et a = eonstante, c'est-à-dire proposons-nous de définir, sur un cylindre de révolution, !a courbe dont le plan osculateui' coupe la surface sous un ingle constant.
L'écfualion (36) lésolue pat lappoit à Rj, et divisée par V 1)5 «, donne
K, |> tangrt cos a sin' i
ou
, p. tarii^r/ C
siii'- / sin' /
C désignant une constante, et R' représentant ( Lenime, j)a§e 129) le rayon de couibure de la ligne suivant laquelle se transforme la courbe cherchée parle développement du cylindre. On déduit aisément de cette formule que la ligne Iransi'ormée est une chaînette, dont Taxe est parallèle aux générairices du cylindre 5 et comme cette dernière ligne est aussi la uansformée delà chaînette cylindrique (Vieille, Coniplènients C ylnalyscet de Mécanique, page 202), on voitcpie/a courbe > aercliée est la chaînette cylindrique. On a d'ailleurs ces expressions des rayons de courbure de la ligne, en chacun de
l54 PREMIÈIIE I-AUTIE. CHAPITRE ITUITrÈATE.
ses points,
0 sin /7 ^ 0 R , =-- '—. , R. = — ^ : ,
siii /. cos i
el ces formules s'appliquent encore, non plus à la diainette, mais à la courbe a = constante^ dans le cas où le cylindre esl quelconque.
89. Posons p = constante et Ri = constante : la formule (4o)i dans laquelle nous ferons abslraclion de la sohition
cos« = o, ou a = -Il qui reproduirait Ihélice déjà considérée
au 11" 87, devient alors
'~' H ~" 3 sin /.ces r
On a d'ailleurs, suivant la formule (3y ),
R,.= -^^ = — ^-, ''^ H + (la sin/. cos/
et il résulte de la comparaison de ces formules que : sur un cylindre rie révolution , l'angle de torsion de la ligne dont la première courbure est constante^ est proportionnel à la 'variation correspondante de l'inclinaison du plan osculateur de cette ligne sur le plan tangent à la surface.
