Formules relatives aux courbes tracées sur un cône
Soient a<2i Tindicatrice sphérique de la courbe AAi, et gg^ la ligne formée par les extrémités des rayons de la sphère parallèles aux génératrices oA, oAi du cône; menons les arcs de grand cercle ga., giUy^ qui se coupent en i, et décrivons du point i, comme pôle, l'arc aa. Conservant les notations du numéro précédent, et désignant, en outre, par /'la longueur oA, par r/(3 l'angle des génératrices consécutives oA. oAi (mesuré sur la sphère par l'arc ggi) et par A le demi-angle au sommet du cône de révolution, osculateur du cône proposé suivant la génératrice oA (l'angle A étant mesuré sur la sphère par le rayon de courbure sphérique de la ligne gg^ en g) : nous aurons
SlUFACES DÉVELOPPABLES. l35
il'abord '
, , ,, dS.s'ini
I \ , ,r. dS.sini
0) r/w = r/9.cot A = cotA.
Lo triansfle reclaiiirle ny.ii, nou? fournira ensuite les relations
sin« =
smi .d<
•OSrt =
di ^
<[ui deviennent , par l'emploi des formules [a] et [b).
,3^,, . R,.sin"^/
(ÛO ) SIMrt =r -,
/■tangA
/S . sin / -4- / . di
cos<7 = —
^ , ^/S. sin/ , ,
E. = — h di '
On a d'ailleurs .>r^,s E. sincr
comme dans le n° 86; et si l'on multi])lie membre à membre les formules (36') et (38'), on trouve, en simplifiant,
Les formules correspondantes du n" 80 se déduisent de celles-ci en posant tang A = o, r = co et /' tang A = p.
Applications.
01. Posons A = constante et i = constante : la courbe considérée est une hélice tracée sur une cône de révolution ; les équations (36') et (37'), divisées membre à membre, four-
l36 PUEMIKIIE PARTIE. CHAPITRE HUITIEME.
nissent la relation
sin / ^ tangA
d'après laquelle l'angle a demeure couslant^ et C, C désignant des constantes, les formules (36') et (38') prennent cette forme
Il résulte, de cette dernière, que la courbe considérée est en même temps une hélice cy lindrique ; et il est aisé de voir que les génératrices du cylindre, à base spirale, qui la contient, sont parallèles à Taxe du cône 5 car l'indicatrice sphériquc aciy et la courbe ggi sont deux cercles ayant même pôle.
