Posons a = - : la courbe est une ligne géodésique, et
l'on obtient des expressions très -simples de sin/, Rj et R2 en fonction de /• et de tang A.
93. Posons A = constante et a = constante : l'équation (36'), résolue par rapport à Rj et divisée par cosa,
sm-'/
pour le rayon de courbure de la ligne suivant laquelle se transforme la courbe cherchée par le développement du cône. De là, en désignant par p la perpendiculaire abaissée de l'origine des rayons vecteurs sur la tangente, et remarquant que
sin/ = —7 (lue li = —— , on tue. successivement, r ' dp
dr Cdp ) __ c Cr
d où 1 on pourra déduire Téquation en coordonnées polaires de la (ourbe transformée : équation qui se présente sous des formes ditférentes, suivant tjuc C est inféiieur, égal ou supérieur à l'unité.
SURFACES DÉVELOl'PABLES. iSy
94. Scolie. On pourrait se proposer de déterminer l'équation générale des lignes tracées sur un cylindre, ou sur un cône vie révolution, analogue à l'équation
constante.
qui représente une ligne sphérique. Mais cette recherche, qui présente d'ailleurs des difficultés, pourra-t-elle du moins conduire à un résultat simple? Il est aisé de voir que non, et de définir les lignes et les rapports différentiels qui entreraient dans Texpressiou du rayon du cylindre, ou de l'angle au sommet du cône de révolution , contenant la ligne considérée. En effet, quatre points sont nécessaires pour déterminer une sphère, cinq pour un cylindre et six pour un cône de révolution : le rayon de la sphère oscidatrice, le rayon du cylindre et l'angle au sommet du cône, oscillateurs d'une ligne à double courbureen un de ses points, dépendent donc, implicitement, des lignes finies et des rapports différentiels qui naissent de la considération simultanée et de la succession de quatre, de cinq ou de six points infiniment ^voisins d'une ligne à double courbure. Pour le cas de la sphère, le nombre des points est quatre : 1er trois premiers donnent naissance au rayon de première courbure -, la succession des quatre points donne naissance au rayon
de seconde courbure et au rapport différentiel —— ' : le rayon
de la sphère osculatrice est donc une fonction de Rj, R2 , — — '•
Pour le cas du cylindre, le nombre de points est cinq : les
quatre premiers donnent naissance aux grandeurs Ri , R^ , —4 ;
et la succession des cin([ points introduit, en outre, les rap-
clR-, r/^R, , 11-1 1 1
ports — —9 -— — : le rayon du cvlinare osculateur est donc
' dS f/b' -^ •'
,. . , . , ^ ^ dK, dR, d'R,
une lonciion des fiuautiîes n,, K, . — r-r ^ —77r'> .■•
' ' dS dS /c
dS
Rnfin, on verra de mémo que 1 angle au s(;nime» du cône
l38 IM(E\IiÉP,E PARTIE. CHAPITRE HUITIEME.
droit osculateur est une fonclion des mêmes quantités, et des nouveaux rapports f ? ■
9o. Formules relatives aux courbes tracées sur une surface cléveloppahle.
Les formules établies dans le n° 90 s'appliquent, avec une seule modification, aux courbes tracées sur une surface développable quelconque. Il suffit, en effet, d'y remplacer tangA, qui représentait le rayon de courbure géodésique de la ligne sphérique formée par les extrémités des rayons parallèles aux génératrices du cône, par le rayon de courbure géodésique analogue relatif à la ligne sphérique formée par les extrémités des rayons parallèles aux génératrices de la surface développable considérée. Or, cette dernière ligne est précisément l'indicatrice sphéricjue de Tarète de rebroussement de la surface, et
son rayon de courbure géodésique tangA est égal à — : p^ et 09
désignant les rayons de première et de seconde courbure de cette arête. On a donc les formules suivantes :
,0/-" ■ '-1 Risin-/ (00 Slllrt = '- ■ ,
(07 ) cosrt = — — ou E„ = — { 2 hdi),
,^r 1 // '-'I ''^S. sin-/
( JD-37 ; tangrt = —
( 38" tang/ =
:,.. r/S. sin i -J- r .di E sinr/
W-\-da 39" R,,„:
p, sin?. ces/
Applications.
96. Posons -^ = constante et i = constante : les formules (36-3;") et (38") montrenî que TaDglc a et le rapport
SUnFACES DÉVELOl'PABLKS. 1 39
-^ sont conslaiils; et R,, Ra sont proportionnels à /■. Donc, les
trajectoires des génératrices rectilignes d'un liéliçoide développable sont des hélices, et leurs plans osculateurs coupent la surface sous un angle constant. On voit d'ailleurs qu'il est nécessaire, pour que i et a soient simultanément constants,
que — le soit aussi , ou que la surface soit un liéliçoide.
