Posons a = ~ : la formule (38") devient

fang/=r^ ou tang/— ^.

11 en résulte que : en chaque point d'une ligne géodésiquc tracée sur une su/face dcveloppable, le rapport de la prendère à la seconde courbure de cette ligne est égal à la tangente de son inclinaison sur la génératrice correspondante de la surface.

98. Posons ^ = constante et i = ~ : on a , comme précé- (Icmment ,

rt z= constanle ou (la = o.

La formule (38") donne d'ailleurs H + r/« = o ; donc H=i o, et la ligne considérée est plane. Réciproquement, si l'on a

i = - et }ir= o, on a encore da =^ o, a =^ constante. Donc, les

lignes de courbure d'un hélicoïde développahle sont planes ; et toute surface développablc dont les lignes de courbure sont planes est un hélicoïde. ( p^oir le n° 96, )

99. Si une surface déi^eloppable a des cercles pour lignes de courbure, cette surface est un cône de révolution. En elTct,

2, a et — étant constants par suite de l'hypothèse, léqua-

tion (37") se réduit à /' = constante, ce qui suffit pour établir que la surface est un cône, et par suite un cône de révolution, (.ar les rayons /• ayant une longuoui' ( onstantc et étant nor-

l40 PREMIÈRE PARTIE. CUAPITUE HUITIEME.

maux, par une de leurs extrémités, à la ligne de courbure AA, , ces rayons devraient être également normaux à la courbe formée par leurs autres extrémités. Mais ces rayons sont déjà tangents à cette courbe, qui est Farête de rebroussement : donc celle-ci se réduit à un point , et la surface est un cône de l'évolution.

100. Observation. — Les trajectoires des génératrices reclilignes d'un hélicoïde déi^eloppable sont des hélices. Ceitu proposition, que nous avons vue résulter des formules précédentes, peut être établie directement en quelques mots. Il suffit, eu eÛet , de remarquer que rindicatricc spliérique d'une trajectoire peut se construire par points, eu menant des arcs de grand cercle tangents au petit cercle gg^ de la spbère, qui sert d'indicatrice à l'arête de rebroussement de la surface, et r,,^ ,. prenant sur cliacun d'eux un arc

constant sa = i. Or le lieu des

points ainsi obtenus est évidemmeiii.

un petit cercle aaj de la sphère, parallèle au cercle ggi et de même pôle; donc la trajectoire considérée est. u.ne hélice cylindrique, et le cylindre auquel elle appartient est parallèle au cylindre contenant l'arête de rebroussement de la surface. On voit d'ailleurs que l'arc de grand cercle ga., tangent au premier cercle ggi et limité au second aa,, coupe ce dernier sous un angle qui reste constant; donc le plan oscidalenr d'une trajectoire quelconque coupe la surface sous un angle constant, lléciproqucment, /oiite hélice tracée sur un hélicoïde déi^eloppable, et appartenant à un cylindre parallèle à celui qui contient l'arête de rebroussement de la surface,, est une trajectoire des génératrices rectilignes de V hélicoïde. Car p étant le pôle commun des petits cercles ggi et auy qui servent d'indicatrices à l'arête de rebroussement et à l'hélice considérée, les côtés pg et pa du triangle sphéi ique pga, rectangle en g, sont constants; il on i-éïuitc que le troisième côté ga est cousLaul aussi, et «jue

SURFACES DÉVELOPPABLES. l /\ l

Ihélice ronsidôi'cc rst \n\c trajectoire des génératrices reclilii^nes.

Si l'hélice, ardle de rebroussement de la surface, a/fparlieiit à lin cylindre de ré\' oint ion , les mêmes conséquences subsisteront encore; mais avec cette parlicvilarilé que Viinc des trajectoires^ en nombre infini, qui correspondent a. une valeur déterminée, et d'ailleurs quelconque, de l'angle z, est une hélice tracée sur un cylindre de révolution. Dans ce cas, en elFet, si on développe la surface sur un plan, l'arête de rebroussement, dont la première courbure est constante, devient une circonférence 5 les génératrices delà surface se transforment suivant les tangentes de cette circonférence, et leurs trajectoires suivant les trajectoires des tangentes. Or, dans la figur(> unsi développée, l'une des trajectoires, en nombre infini, ([ui correspondent à une valeur donnée de l'angle /, est une circonférence (décrite du même centre que la pixmière, ave( un rayon convenablement choisi), et son rayon de courbun» est constant. De là, en revenant à la surface primitive, on conclut qu'il existe sur cette surface une trajectoire dont le

rayon de courbure geodesique est constant; et comme u

estde|a établi que a et — - sont constants pour une trajectoire

quelconque, Ri et R2 sont l'un et l'autre constants pour la trajectoire considérée qui est, par conséquent, une hélice tracée sur un cylindre de révolution.

Enfin si, revenant au cas général, on suppose V angle i égal à

-1 les arcs ga^ g'i«i sont des quadrants, les rayons de la

sphère aboutissant aux points «, a^ sont parallèles aux tangentes en g., gi du petit cercle ggi , et la ligne «a, est un grand cercle de la sphère. Donc les lignes de courbure dr Vhélicoïde développahle sont des courbes planes^ et. le plan de chacune d^elles coupe la surface sous un angle constant. Réciproquement, une Ugne do courbure dune surface développahle étant plunc, cette swj'ace est un hélicoïde. Les tan-

l42 PREMIÈUE PARTIE. CHAPITIIE IILIXIÈ.ME.

geiites eng,gi de l'indicatrice de l'arèle de lebroussement, étant en effet parallèles aux rayons de la sphère qui aboutissent aux points a, «j du grand cercle servant d'indicatrice à la ligne de courbure que l'on suppose plane, sont parallèles à un plan fixe. La ligne ^^i est donc plane et circulaire^ l'arête de; rebroussement est une hélice, et le plan de la ligne de courbure considérée coupe la surface sous un angle constant : ce qui renferme le théorème de M. Joachimstal.

Les résultats précédents ont été obtenus analvtiquement par M. Molins, dans le cas particulier de Ihélice tracée sur un cylindre de révolution. [Journal de Mathématiques, tomeMIl, pagei4i.)

101 . Les mêmes considérations conduisent, très-simplement encore, à la solution de cet autre problème, également résolu par M. Molins : Faire passer par une courbe donnée une surface déueloppable telle que^ par le développement de cette surjacc sur un plan, la courbe se transforme en un cercle de rayon donné Rj,.. [Journal de Mathématiques, i856, page 2JO.)

On voit daboi'd que le problème est susceptible de deux solutions. Car si l on mène par les tangentes successives de la ligne donnée une double série de plans formant avec les plans osculateurs correspondants de cette ligne, d'un côté et de 1 autre de ces plans, des angles a dont les cosinus soient définis en chaque point par la relation

COS a z=z - —

COS tt '

les deux surfaces développables, enveloppes des plans de chaque série, répondront l'une et l'autre à la question.

Examinons, avec M. Molins, le cas où la ligne donnée est une hélice tracée sur un cylindre de révolution ^ et construisons les indicatrices sphériques gg^ et aa^ de l'arête de rebroussement de la surface cherchée et de l'hélice donnée : l'indicatrice de cette dernière est un petit cercle aa^ de pôle p. et les

SURFACES GAUCHES. l43

arcs agy Oigi ont pour enveloppe la ligne ggi [voir la ligure de la page i4o)-

Ri^^ étant constant, ainsi que le rayon de première courbure Ri de l'hélice donnée, l'angle a est constant; les arcs ag^ fJigi coupent le petit cercle aai sous un angle constant; le point g, où chacun d'eux louche son enveloppe ç^-g^i, s'obtient en abaissant l'arc pg perpendiculaire sur ag : et il résulte de cette construction que le triangle variable pga demeure toujours égal à lui-même et que les arcs pg et ga sont constants.

L'arc pg étant constant, la ligne ggi est un petit cercle de même pôle /) que le cercle aa^ : et Tarète de rebrousscment de la surface cherchée est une hélice située sur un cylindre parallèle à celui qui contient l'hélice donnée.

L'arc j^rt étant constant, l'hélice donnée est une trajectoire des génératrices rectilignes de la surface, et se transforme, par le développement de cette dernière sur vin plan, en un cercle coupant sous un angle constant les tangentes de l'arête de rebrousscment développée. L'arête développée est donc l'enveloppe d'une série de cordes égales d'un cercle, ou un cercle concentrique au premier ; et l'arête de rebrousscment ellemême est une hélice dont la première courbure est constante, ou une hélice /racée sur un cylindre de révolution.

Les formules précédentes peuvent aussi conduire aux mêmes résultats.