Obsen^afions préliminaires ; nota/ion et définitions
On appelle, comme on la déjà vu, point central àe chaque
génératrice OA d'une surface gauche la limite des position^
occupées sur celte génératrice ['ar le pied de la droite sur la-
l44 PREMIÈRE PARTIE. CFlAPlTRE HUITIÈME.
quelle se mesure la plus courte distance OCj enirc rctlc génératrice et une génératrice infiniment voisine O'A' : le système ôc tous les points analogues, relatifs aux diverses génératrices de la surface, formant une courbe continue 00' O" que l'on appelle ligne (le striction de la surface. Il résulte d'ailleurs de cette définition qu'en chaque point de la ligne de striction le plan tangent à la surface est perpendiculaire au plan mené, par la génératrice qui passe en ce point, parallèlement à la génératrice infiniment voisine : car il peut être considéré comme contenant la droite OOi, sur laquelle se mesure la plus courte distance entre ces deux génératrices.
Les droites indéfinies OOi, O'O', , 0"0" , . . . , sur lesquelles se mesurent ainsi les plus courtes distances entre les génératrices successives de la surface primitive S, sont à leur tour les génératrices d'une seconde surface gauche S', que l'on appelle la surface conjuguée : et il est évident que les génératrices de la première surface reçoivent les plus courtes distances entre les génératrices consécutives de la surface conjuguée ; les deux surfaces étant circonscrites l'une à l'autre tout le long de leur commune intersection OO'O", qui est, en outre, la ligne de striction de l'une et de l'autre.
Dans tout ce qui suit, nous désignerons l'angle de deux génératrices infiniment voisines de la première surface, leur plus courte distance, le coefficient de distribution des plans tangents (i^Oi/'page lo); et les éléments analogues et correspondants de la surface conjuguée, par
w, w, X- := - : et oj'jCt', /' = -7-
Quand nous aurons à considère* une ligne A A' tracée sur la surface, nous rapporterons ses points successifs A , A', . • • i '^"^ points correspondants O, O' de la ligne de striction par les coordonnées s})éciales
AO = R,, A'O' .= R + .'/R; l'arc élénieniairc dS et î inclinaison /de cette ligne sur la gé-
nératrîce étant définis par les équations
(2) (3) dont la
dS
ces /■ (r/R
sin?.cos«
CT j ces (f
seconde devient, quand il s'agit de la ligne de striction,
pour laquelle o = R
cot/„
Fig. 42.
Pour démontrer ces formules, soient, comme précédemment, OOi = C7 la plus courte distance entre les génératrices infiniment voisines OA, O'A', et 0,0'= cî' le segment déterminé sur O'A' par cette plus courte distance OOi et la ligne de
striction 00' 5 menons les droites O^a parallèle àOA, A a parallèle et égale à OOj, aa' perpendiculaire sur O'A'; et Aa', qui peut être considérée comme l'élément de la trajectoire orthogonale des génératrices issue du point A , et qui forme avec A« l'angle cp mesurant l'inclinaison du plan tangent en A sur le plan tangent en O : inclinaison définie par l'équation fondamentale [^voir^. 1 1, formule (IV)1 :
(i) tang(p = /-.R.
On a dans le triangle An' A', rectangle en «', les relations :
dS
ont /
Aa'
CCS/ sm^ Aa'.costf
sui i . cos tp fl'A'.coscp
D'ailleurs, la trajectoire orthogonale A«' et la plus courte distance OOi interceptant sur les génératrices infiniment voi-
lO
l/\6 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE KETJVIÈME.
sinos O A . O' A' des scgmonls égaux, on a l'égaliié
