VT' = O A
on
0,0' + O'A' — «'A' = OA, on
ra' + R + f/B. — ^' A' =r R ; (ni enfin
^/A' = r/R±CT';
et la substitution de cette valeur dans les relations précédentes fournit les formules (2) et (3).
103. Représentation sphéiique d'une surface gauche et des lignes les plus remarquables, ligne de striction, lignes de courbure, lignes géodêsiques, lignes asymplotiques et lignes d'ombre d'une telle surface. [F^oyez fig. 43, p. i48-)
Si l'on mène par le centre d'vme sphère, de rayon i, les rayons cg., cg'., . . . , parallèles aux génératrices rectilignes d'une surface gauche quelconque S, leurs extrémités formeront une courbe spliérique gg', dont l'arc élémentaire ds mesure Faugle w de deux génératrices consécutives de la surface primitive S, et dont l'angle de contingence géodésique e^ est égal à l'angle o)' des deux génératrices consécutives, correspondantes, de la surface conjuguée S' : le rayon de courbure géodési<iue de cette ligne ^'^o^' étant défini dès lors parla formule
(5) tang.-/ = ^^.
En outre, si Ton construit l'indicatrice sphérique 00' de la ligne de stiiction 00', les points o, o',..., de cette indicatrice seront rcspectii^emenl situés sur les arcs de grand cercle
gy, gVv-î normaux c« g,g',.--, à la ligne gg'. L'arc go, et le grand cercle tangent en g à la ligne gg' , représentent, en elfet, le premier, le plan tangent au point O de la ligne de striction; le second, le plan mené par la génératrice du même point parallèlement à la génératrice infiniment voisine; et
SURFACES GAUCHES. l /^y
doivent être, comme ces denx plans, perpendiculaiies cntn; eux.
Si l'on construit de même l'indicatrice aa' d'une ligne quelconque A A', tracée sur la surface : les plans des arcs de grand
cercle ag a' g' ^..., joignant les points correspondants des deux lignes aa', gg\ sont parallèles aux plans tangents delà surface
aux points A, A',...; et rinclinaison de Tare ag sur l'arc normal go ou gy , ou le coinpléinenL de rinclinaison de Varc ag sur la ligne gg', mesure l'angle y des plans tangents au point A de la ligne considérée^ et an point correspondant O de la ligne de striction .
Enfin, la ligne pp' formée par les intersections successives
des arcs ga, g' a',..., sert d'indicatrice à l'arête de rebroussement de la surface développable circonscrite à la proposée suivant la ligne AA' : et si dans la formule (i4) de la page 4.9,
ds . sin a
tang ai = --,
^ eg-hda •
on remplace l'arc ai, l'angle a, ds, e„ par leurs valeurs actuelles, arc gp, (f,o),oi', relatives à la ligne gg' eth l'inclinaison de V 'dvc gp sur cette ligne, on obtient cette nouvelle formule :
dont nous ferons un continuel usage dans ce chapitre, ainsi c{ue des principes suivants, par lesquels nous terminerons ces piéliminaires.
A. Si la courbe A A' est la ligne de striction de la surface,
les arcs ça, s'a' sont normaux à la li
gne gg
B. i5/ la courbe A A' est une ligne géodésique, les arcs ga, g'a' soîit normaux à V indicatrice aa'.
C. Si cette courbe est une ligne de courbure de la surface, les arcs ap, a'p' sont des quadrants, et les arcs gp,ga sont
l48 PREMIÈHE PAHTir. CHAPITRE NEtVrÈME.
complémentaires. Car les rayons ca et cp de la splière sont parallèles à la tangente fie la ligne de courbure AA' et à sa taiigeiUe conjuguée, et ces tangentes sont rectangulaires,
1). Si ia courbe A A' coïncide avec l'arête de rebroussemeiit de la surface développable circonscrite à la proposée suivant cette courbe, ou si la courbe A A' est une ligne asymptoliqiie de ht surface, la ligne pp' coïncide auec la ligne aa', et les arcs ga , ^ s! sont tangents à la ligne aa'.
E. Enfin, si la courbe A A' est une ligne d'ombre relative à fies rayons incidents parallèles (ou la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à la sui face) , la ligne pp' se réduit à un point., et les arcs ga, g' a' concourent en ce point., qui est l'extiémité du rayon de la sphère parallèle aux rayons incidents.
lOi, Rayon de courbure géodésique d'une trajectoire A A', sous l'angle constant \, des génératrices rectilignes {voir la figure précédente). Décrivant du pôle commun p, les arcs gh., aq interceptés entre les a.rcspag, pa' g', on a l'égalité ga = liq , dont la comparaison avec l'égalité donnée., ga=^ ^ a' =^ /, conduit à la relation
(4o) Eg.=: Ecosrt =: w sin 'j.
On a d'ailleurs, parla formule (2) ( i'o/r page i45)
et, par suite,
" E „ sin ? . A sinœ cos o
sin i
«p cos 9 /. • R.
Il résulte de cette formule quV/i un même point d'une surface
SIIIIFACES <;Ai;CHES. 1 49
i^aucha, la soiuinti des carrés des prcinuircs coin bures i^codésiqiies de deux trajectoires , perpendiculaires cuire elles, est coustaute.
105. Propriétés de la ligne de striction; cas particuliers dans lesquels la ligne de striction est une trajectoire des génératrices rectilignes; une ligne géodésique; ou une ligne asyniptotique de la surjace.
Théorème. Une Hgne^ tracée dans de certaines conditiuns sur une surjace gauche, peut être, soit une ligne géodésique, soit u/ie trajectoire des génératrices rectilignes, soit la ligne de striction même de la surjace : et si deux de ces trois propriétés se trouvent réunies dans une même ligne de la surface, elle possède aussi la troisième. (O. Bonnet, Journal de FEcole Polytechnique, t. XIX, p. 71.)
Démonstration. Que la ligue de striction 00' soitd'aboid une ligne géodésiqiie, ou une trajectoire des génératiioes reclilignes : dans le premier cas [voir la figure précédente}, les arcs go , g' o'. déjà normaux à la ligne gg', puisijue 00' est ia ligne de striction, sont aussi normaux à la ligne 00 , puisque 00' est une ligne géodésique. Les deux lignes gg' ,00', ont donc même développée sphérique, et les arcs go, g'o', normaux à Tune et à l'autre, conservent une valeur constante qui mesure linclinaison, également conslanle, de la ligne 00' sur les génératrices delà surface. Dans le second cas, les arcs ^-o ont une longueur constante; ils sont encore normaux à la ligne décrite parleur origine g: ils sont donc pareillement normaux à la ligne 00' décrite par leur cxlréniité o 5 et la ligne 00' est une ligne géodésique.
Enfin, si A A' est à la fois une irajecloire des génératrices et UMC ligne géodési(|ue de la sniCaci', les arcs ga ont une longueur constante et sont normaux à la ligne aa' décrite par leur exlréniilé a; ils sont donc pareillement normaux à la ligne gg' décrite par leur origine g. Les arcs ga , g' a' coïncident en direction avec les arcs i,'o, g' o' ; les plans tangents à la snrfac»-, menés par les points coriespondants de la ligne considéiée A A
lOO PRE.MIEP.E PARTIE. CHAPITRE NELVIEME.
et de la ligne de slriction 00', sont parallèles: et ces lign.3 elles-mêmes coïDcident.
Toutes les surfaces gauches dans lesquelles la ligne de striction présente ces particularités peuvent donc être engendrées en menant, par chacun des points d'une ligne à double courbure quelconque, prise pour ligne de slriction, et dans le plan rectifiant correspondant, une droite faisant ai^cchi ligne considérée un angle constant : cet énoncé contenant, en particulier, la génération de la surface gauche de révolution.
Supposons, en dernier lieu, que la ligne de striction 00' soit une ligne asymptotique de la surface : les arcs go, g' o' étant alors tangents à la ligne oo' ^ celle-ci coïncide avec la développée yy' de la ligne gg' . On a donc constamment
go = g'h tangg'o = tang/o = tang^-/,
ou, d'après les formules (4) et (5) [voir pages i45, i^dt),
