OU A = A
Eu outre, lare élémentaire de la développée oo\ ou l'angle de contingence E de la ligne de striction, est égal à la ditîérentielle di^ de l'inclinaison, go ou gy^ de la génératrice de la surface sur la ligne de striction ; et comme d'ailleurs les génératrices de la surface sont, dans le cas actuel, situées dans les plans osculaieurs de la ligne de slriction, on a ce théorème :
Si par les divers points, et dans les plans osculateurs correspondants d'une ligne à double courbure quelconque, considérée comme directrice, on mène des droites coupant celte ligne sous une inclinaison variable dont la différentielle soit précisément égale à V angle de contingence de la directrice : ces droites seront les génératrices d'une surface gauche S ayant celte directrice pour ligne de slriction , et les coefficients de distribution des plans tangents de la surface Set de sa conjuguée S' seront constamment égaux.
En particulier, si par les dif^ers points d'une droite on mène de iiouvelles droites, non situées deux ci deux dans le même
Sl'UFACES GAUCHi:S. K) l
pian, cl coupant la preinièrc sous nu an^lc conslanL : ces droites Jonne.i ont une sui'Jace ennche en nntla (Iroite donnée pour ligne de striction. On a un exemple de celle généralioii dans la surface gauche formée par les normales principales d'une ligne géodésique d'un cône de révolulion.
Remarque. La plupart de ces propos! lions onl été énoncées déjà par M. Catalan. [Bulletin de la Société Philomalfii(fue, 1848, page 68.)
1(36. Equation générale des lignes géodésiques., sur une classe particulière de sur/aces gauches. 27iéo/è/nes sur le h'iangle séod
Les
^^^désique. (Foir^age i^J, remarque 13.) rcs ga., g' a' étant normaux à l'indicatrice aa' de l;t
Fifî. ^4.
ligne géodésique considérée A Â', on a, eu abaissant Ynvcgh perpendiculaire sur^''c/',
s' h = sfi — s' Cl' ,
gg .snv|
ou
w sin y :
ce qui montre, en passant, que la variation de l'inclinaison d'une lisne séodésinue sur la génératrice rectiliaue de la
surface a la
valeur., j)Our toutes les lignes géodésiques
issues d'un même ])oint de la surface et terminées à la génératrice infiniment voisine.
Quelle que soit d'ailleurs la ligne considérée AA', on a, [)ar la formule (3) [voir page i45) •
d R±vy'
col/ r=: COSu,
«'l l'on déduit, de la multiplication deux deinières équations,
iuenij)ie
iend)re des
col/'.r// =
(•/ . si n /
/. 1//II Zhrs' ) sill'i'.CO&'f,
i:)2 PREMIERE PARTIE. CHAPITRE AELVIEME.
OU enfin, en employant la formule (i) tangcp = A , R,
('•quation générale des lignes géodésiques d'une surface gauche (juclcouque.
Si l'on pose
/ /= constante,
le second membre devient une différentielle exacte-, l'équation (8) est susceptible d'une première intégration, et on trouve en l'effectuant,
