L.sin/ = ±-L(i -f- /-^R^) + L.C

(A') sin/ = C(H- /--'R-) '''=:C(cosç) .

Quant à l'ambiguïté que présente cette formule, et qui provient du double signe ■+- et — que nous avons dû conserver dans l'équation (8), il suffira de la faire disparaître pour l'une (juelconque des surfaces représentées par les équations

\ ct'^ o,

( / ;=: constante.

Nous choisirons, à cet elïet, l'héliçoïde gauche à plan directeur; les autres surfaces, gui so7it engendrées, comme on le voit aisément, par les bi-norniales d'une ligne gauche dont la seconde courbure est constante, se prêtant moins bien à la discussion.

Supposons donc que la surface soit un héliçoïde gauche, et soit [voir la ligure précédente) y le pôle du grand cercle gg', lieu des extrémités des rayons de la sphère parallèles aux génératrices de la surface. Menons l'arc de grand cercle y a coupant gg' en c). On a, dans le triangle sphérique rectangle ciqg,

sia^/iy = sinrt^. sin<7^'r7, ou siu«f/ = sin/ . cos'f.

SURFACES GAUCHES. l53

Si donc on prenait le signe supérieur dans la formule (A'), on aurait

s'mar/ = C , aq = constante :

L'arc ya serait lui-même constant 5 les arcs ay, a'y seraient normaux à la ligne an\ comme les arcs ag\, a' g\ et coïncideraient avec ces arcs 5 les plans tangents aux dillérents points de la ligne A A' seraient parallèles à l'axe de riiéliçoïde; et la ligne AA' ne serait pas une ligne géodésique quelconque de la surface, mais l'axe même de riiéliçoïde.

On doit donc rejeter les signes supérieurs et écrire, définitivement,

sin<

(q) ^ = C ou sin/.\/i -1- /-^R^^rC.

cosij)

Obseivatïon. L'équation des lignes géodésiques de l'héliçoïde à plan directeur, déjà obtenue par M. Catalan [Mémoire sur les surfaces gauches, Journal rie V École Polytechnique, 29*" cahier, i843, page 142),

cet' G — lû

ou, en rentrant tlans notre notation,

col-/ — R2 "' I + R^ ~ ""'

peut servir de vérification à notre méliiode. Elle revient identiquement, en elfet, à l'équation (9),

sin ?. y^i -h ^■'R'= C, pourvu qu'on fasse dans celle-ci

et celte parlicularisation du coefficient k résulte implicitement, dans la notation de M. Catalan, de la forme môme de l'équation

z =r arc tang— 5

qu'il emploie pour représenter l'iiéliçoïde,

l54 PREMIÈRE 1>ART1E. CHAPITRE ^EI: VIÈme.

• JppUcalions. La formule (9)

COSi

conduit à quelques conséquences curieuses , relatives aux triangles géoclésiques tracés sur l'une quelconque des surfaces gauches définies précédemment.

1). Dans tout triangle géodésique isocèle ayant pour hase la ligne de striction, la génératrice rectiligne issue du sommet est perpendiculaire à la base, et divise Vaiigle au sommet en. deux parties égales : en appelant isocèle un triangle dont les angles à la base sont égaux ^ et en remarquant que la ligne de striction est ici une trajectoire orthogonale des génératrices et une ligne géodésique de la surface.

Povir démontrer ce théorème, il suffit de remarquer que la constante C, entrant dans l'équation d'une ligne géodésiijue, représente le cosinus de Tinclinaison de cette ligne sur la ligne de striction, au point où elle coupe cette dernière; les constantes, entrant dans les équations des deux côtés du tiiangle isocèle considéré, sont donc égales; et ces équations étant

sin/ = C.coso, sin?' = C.costj-';

si l'on y fait o =■ a/', pour avoir les angles i et i' qui se rapportent au sommet du triangle, on trouve

2). Les côtés d'un triangle géodésique ABC formant avec les génératrices rectilignes de la surface, issues des sommets de ce triangle, six angles distincts; le produit des sinus de trois de ces angles, non adjacents, est égal au produit des sinus des trois autres : propriété analogue à celle du triangle rectiligne, pouvant être étendue, comme celle-là, à un polygone géodésique quelconque 5 et dans laquelle les génératrices aboutissant aux sommets remplacent les droites issues d'un même point dans le triangle *re(tilign(\

Pour la démonlicr. nous désij^nerons par 9^5 'fii î 9(; ^^- ^"^ '

SURFACES GAUCHES. l55

gles foiniiés par les plans tangents en A, B, C respectivement avec les plans tangents aux points carrespondants de la ligne de striction ; par i\.^\ et ic,p, les angles formés en A et B, avec les génératrices de ces points, par le coté AB ou c ; et ainsi des deux autres côtés. Nous aurons donc, d'après ces notations, et

en appliquant successivement la formule = constante

^^ i COS '^

aux côtés AB, BC, CA, les relations suivantes :

sin/,.,v

sm?ej;