COS 'J
COS'i^ij
sin/a.B
COS Or
sin/a,c
COSBc
sin'A.c
sin/é,A
COS«pc COS «.A
dont la multiplication membre à membre fournit la relation énoncée.
107. Équation générale des lignes de courbure. Jtpplicalions.
L'indicatrice d'une ligne de courbure de la surface étant aa\ et p étant le point d'intersection des arcs infiniment voisins gn, g' a' ( lyoir la figure de la page 148), Vdivcap est égal à un cjuadrant, d'après la remarque C ( voir page 147) i 1^^ ^^^^ gp et ga = i sont complémentaires, et la tangente trigouométriquede l'un est égale à la cotangente de l'autre. Or, d'après les formules (3) et (6) des pages i45 et 147?
• COSij^
dK±T3'
tangg-/^ =
on a donc
co
,'±do
ou, cji remplacanl dz par sa valeur
d<si = ( ^ . <■/ R -f- R . d k ) ces- y,
l56 PUEMIÉRE PARTIE. CHAPIXIIE INEDVIÈME.
lirée de réquation (i), tang'^ = A.R,
(lo) {d
R±ct') w'±:(/.r/R + R.r//)cos-'7] = njr,
Cette équation, quoique assez compliquée, donne lieu cependant à quelques applications intéressantes.
i). Posons
O =(>>'= zn = d /> ,
la surface devient un liélicoide à plan directeur, el 1 équation se réduit à
/. .dK . COS- O =r ET . W , 1 f^ => 1 - Il •
OU, en renq)lacant rs par — et cos cp par ? a ceJle-ci ;
f..dR , , ,
d'où
équation générale, suivant les coordonnées polaiies R el H, des projections des lignes de courbure de l'iiéliçoïde sur le plan directeur (Catalan, Mémoire cité, page i43). On peut d'ailleurs parvenir directement à cette équation, par le seul emploi de la formule (3) •
dRdz^'
COtl = — • COSÇ,
tu
et en remarquant que, dans le cas actuel , les lignes de couibure ne sont autres que les trajectoires, sous l'angle de 45 degrés, des génératrices reclilignes de la surface.
2). Déjiiiition analytique de la. surface gauche dont toutes les lignes de première courbure sont équidistantes de la ligne de striction, de telle manière que la ligne de striction et Tune quelconque des lignes de première courbure interceptent des segments égaux sur toutes les génératrices.
Si l'on suppose cette condition l'emplie par toutes les lignes d(î première courbure. 1 équation générale de ces lignes, (10).
SURFACES TtAUCHES. 1 ."î ^
ticvra t'Iro salisfailc par la subslilnlion
(lR = o ou R := ronstante =r C :
quelle que soit d'ailleurs, pour chaque point de la ligne de striction, la valeur attribuée à (etle constante. Or, si l'on introduit l'hypothèse r/R = o dans l'équation (lo), et si, après
avoir multiplié tous ses ternies par = i -1- k'JV, on l'or-
' ^ cos-?p '
donne par rapport à R, elle devient
et celte équation devant être satisfaite par une valeur quelconque attribuée à R, doit se réduire à une identité, ce qui donne les deux équations de condition
u' . d fi z=z o , CTW IjZ rr' &)'= o,
OU les deux systèmes d'équations
f d . OJ =r o ;
,„,, [({/iz=o 011 ^=r constante,
' rrw = CT w ou A r= A- . tan2:-?o • Le système (C) se décompose lui-même en deux :
o =: JTT = ct' ou o iti: ct' = w.
Les équations o = zs = r3', ou o = y/tJ^ + 0'% représentent une surface gauche dont la ligne de striction se réduit à un point, c'est à-dire un cône quelconque^ et les dernières o = 0'= w représentent un cylindre.
Il résulte de là que les surfaces gauches proprenieiil dites, possédant la propriété énoncée, sont définies analytiquement par les équations (C) :
( /» =z constante,
^ ' |/:-' = y^tang'/o.
On reconnaît aisément d'ailleurs c[ue la dernière équation exprime seulement que la ligue de striction est une ligne de
l58 PREMIÈRE PAP.TIE. CHAPITRE NEUVIEME,
courbure 5 et l'on a par conséquent ce théorème ; Toute surface gauche dont une des ligues de première courbure coïncide avec la ligne de striction, et dans laquelle le coefficient de distribution des plans tangents est constant, a toutes ses lignes de première courbure équidislanles de la ligne de striction [*).
3). Clicrclions en particulier à définir celle des surfaces gauches jouissant de la propriété précédente, dont la ligne de striction coupe les génératrices sous un angle constant: ce qui nous fournira en même temps une vérification,
La ligne de striction de la surface cherchée étant une trajectoire des génératrices reclilignes, est aussi une ligne géodésique suivant le théorème du n" lOo. Etant à la fois ligne géodésique et ligne de courbure, la ligne de striction est plane j les génératrices de la surface étant dès lors situées dans les plans menés par les tangentes de la ligne de striction perpendiculairement au plan de cette ligne, et faisant avec ces tangentes l'angle constant /o- Or, ce pi-emier résultat, joint à la relation A- = constante, conduit aisément à cette conclusion : que la ligne de striction est un cercle, la surface cherchée étant dès lors ïhyperboloïde de révolution^ a une nappe.
Soient, en cflet, y le pôle commun du petit cercle g^ et du grand cercle 00' qui sert d'indicatrice à la ligne de striction 5 E, r/ S et Ri l'angle de contingence, l'arc élémentaire et le rayon de courbure de la li£;ne de striction. On a
Y.sino'Y:
Ecos/'o,
d S sin /'o ,
(*) On peut ajouter que les lignes de seconde courbure dcierminent, sur génératrices reclilignes, des divisions homographiqucs.
SURFACES GAUCHES. i;)(^
Cl l'on eu déduit
(/S I 1\, = — = =: constante,
puisque h et /,, sont luri et l'autre eonstanls. c. o. r. n.
Ou auiait d'ailleurs, pour la surface conjuguée S' ,
/■' cot /„
et il résulte, de cette double expression de Rj , la relation ^•' = /■ . tang- /„ .
4). Définir la sut face gauche dont les lignes de courhure sont des trajectoires des génératrices rcclilignes de la surface.
Une ligne de première courbure de la surface cherchée devaiit couper sous un angle constant toutes les génératrices de la surface, cl étant elle-même coupée à angles droits par toutes les lignes de seconde courbure, il en résulte que ces dernières sont inclinées d'un même angle sur les génératrices; et il en est de même pour les lignes de première courbure.
Soit donc / l'inclinaison constante des lignes de l'une des courbures sur les génératrices : posons
cot / := C,
et introduisojis cette constante C dans l'équation (3) de la page 145 ; il viendra
,, r/R=btô'
C ^= cos "j ,
