CI

d'où

Crr

</R.COSo =: C CTlIInT COS9, et f/'Rlilm =

^^ COS

Si l'on porte ces dernières valeurs dans l'équation générale (10) des lignes de courbure (page i56), on trouve, successivement,

-, 0/ z!z El cos^ o . (Ik zti f> cos '3 . C . CT IjZ /■ tj' cos- -j; > =: ÔT w ,

COS o ( ' ' ^^ ' )

± /^CT. Ccoscp + w' zb(R. (l/f^ik ct')cos'»= ^^7

l6o PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE NEUVIEME.

OU, à cause de A . cr = w,

M'±(R.d^zp^-. cî')cos-(}) = w f - zp C I cos ip ;

cFoù, en remplaçant cos © par -~- ^ ■■'-. el élevant au carré,

(10)3 .jo/(i + /^R^)db(R.//!ip/5rT')|' = o3=f^q::Cy'(i4-^^R').

Cette équation, du quatrième degré en R, montre qu'il existe, en général, sur chaque génératrice d'une surface gauche quelconque, quatre points tels, que l'une des lignes de courbure passant en ces points coupe la génératrice sous l'angle /défini par la formule cot/ = C-, mais, dans la surface cherchée, cette circonstance doit se reproduire en tous les points de chaque génératrice : l'équation précédente doit donc être une identité, et les coefficients des diverses puissances de R,Pi'% R^..R.°, doivent être identiquement nuls. Or, le coefficient de R* étant où'^. A*, on doit avoir d'abord

et l'équation de condition (10)3 se réduit alors à celle-ci

h-^ o^ (^q: G j — Z^' j R= ± 2 A- ct' . f/A- . R + j 03' (^ zp cV- /?- v4 =0

qui doit se réduire elle-même à une identité, La surface cherchée sera donc définie par l'équation [m) jointe aux trois suivantes :

[b) ci' . r/ X- = o ,

(r) wM-rpCJ — A-u'^ = o.

On satisfait à la seconde, soà en posant

(«) zj' -^ o,

SURFACES GAUCHES. l6t

et la troisième et la première donnent alors, successivement,

ip) ^ipC = o,

et dk = o, ou

(q) /=: constante ;

soit en posant

d A = o, ou / = constante ;

et, dans ce cas, la premièi-e et la troisième donnent, successivement,

-ipC = o, et ct'=o.

Ces deux solutions rentrent l'une dans l'autre •■, la surface cherchée est définie par les équations

(I) jni'=rO,

( / =r constante,

et l'inclinaison constante des lignes de courbure sur les génératrices est définie par l'équation [p] :

-zf:C = o, ou C'::pi=o, ou cot^t — 1=0;

d'où

(II) .' = 4^"

On a donc ce théorème : L'hélicoïde à plan directeur est la seule surface gauche dont les lignes de courbure coupcTit les génératrices rectilignes sous un angle constant.

Remarque. La génératrice rectiligne représentant, en chaque point d'une surface gauche, l'une des asymptotes de l'indicatrice de la surface en ce point, la tangente trigonométrique de son inclinaison sur une des lignes de courbure est égale, comme on sait, à la racine carrée du rapport des deux rayons de courbure principaux de la surface en ce point. Le théorème précédent est donc susceptible de ce nouvel énoncé :

l62 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE NEUVIEME.

Toute surface gaucJie clans laquelle le rapport des rayons de courbure principaux a la même valeur en tous les points de la surface^ est un hélicoïde à plan directeur; et le rapport en question est égal à V unité : ce qui constitue une généralisation du théorème de Meunier.

5) . Lignes de courbure des surfaces gauches du second degré.

La représentation spliérique d'une surface gauche, appliquée aux surfaces réglées du second degié (hyperboloïde à une nappe, ou paraboloïde hyperbolique), conduit d'une manière très-simple et sans aucun calcul, si l'on veut, aux équations des lignes de courbure de ces surfaces.

Soient, en elTet, yy' gg' ïe/lipse sphérique, formée par les extrémités des rayons de la sphère parallèles aux génératri(;es rectilignes de rhypcrboloïde, et que nous nommerons ellij)se directrice ; aa' l'indicatrice spliérique d'une ligne de courbure AA' de la surface-, «g"7, a' g'y\. . ., les grands cercles parallèles aux plans tangents de la surface en A, A', . • • ■> ^^ contenant les pôles g et y, g' et y', des quatre génératrices des deux systèmes situées dans ces plans; nnn' la courbe enveloppe des grands cercles ag, <^'§'i <^t f^'^' enfin la supplémentaire de la courbe mm' .

D'après des propositions bien connues, dues à M.Ch.Dupin,

Fig- 4fi- l'arc am, qui mesure l'angle de

deux tangentes lonjuguées rectangulaires, est égal à un quadrant^ et le point m est le milieu de l'arc gy , parce que les tangentes aux deux lignes de courbure qui passent par le point A de l'hyperboloïde, sont les bissectrices des angles formés par les deux génératrices rectilignes qui se croisent au même point.

Il résulte de là un premier moyen de trouver par le calcul les équations générales des lignes aa' , mm' el nn' . Car le point a (or, y) étant donné, le point /«(X, Y) est aussi donné, pai"

SURFACES GACCHES. 1 63

rintersection de la polaire absolue du point a, j:X-f-rY= — i , et de sa polaire a^yY -\- h^x^= a' b^ relative à l'ellipse directrice ; ceci résultant de ce que les quatre points a et m, g et 7, forment une cb\>ision harmonique. D'ailleurs, l'arc ma étant tangent à la courbe mm', on a l'égalité

dY Y—r

rfX X— or

et de là, en remplaçant X, Y et leurs différentielles par leurs valeurs en fonction de x, j, dx, dy, on déduira l'équation différentielle de la ligne aa' . Cette équation, où les variables sont séparées, s'intègre aisément : et l'on trouve que la courbe aa' est du quatrième degré, les courbes mm', nn' étant seulement du second.

Mais on peut aussi trouver les courbes mm' et nn' sans calcul. Imaginons, en effet, que l'on ait construit les arcs de grand cercle ayant pour pôles les points m, g el y \ ces trois arcs, qui se croisent au point «, seront : l'arc tangent à la courbe nn' en «, et les deux arcs menés par le même point tangcntiellement à V ellipse spliérique E', supplémentaire de l'ellipse directrice E. Mais ces deux derniers arcs sont également inclinés sur l'arc tangent à la courbe nn' en fi, puisque les arcs m g et my sont égaux -, il font aussi des angles égatix avec les deux arcs de grand cercle qui réunissent leur point de concours n aux deux ïojersfelf de l'ellipse E', par une propriété des coniques sphériques analogue à une propriété bien connue des coniques planes; par suite, l'arc tangent en n à la courbe cherchée nn' fait des angles égaux avec les rayons vecteurs qui réunissent le point n à deux points fixes/" et /' de la sphère : et la courbe nn' est une ellipse, ou une hyperbole spliérique, ayant ces points fixes pour foyers.

Or, la ligne nn' est formée par les extrémités des rayons de la sphère parallèles aux normales menées à l'hypcrboloïde par les différents points d'une même ligne de courbure -, nous avons donc ce résultat : Si Von mène par le centre d'une sphère des rayons parallèles aux normales menées à Vhypcr-

l64 PUEMlkllE rAr.TlE. CHAPITliE NEIVIÈME.

boloïde par les points successifs des lignes de première et de seconde courbure, les extrémités de ces rayons déterminent sur la splicre deux séries d'ellipses et d hyperboles homofocales ^ et h^s foyers connnuus rie ces courbes coïncident avec les fo) ers de l ellipse supplémentaire de V ellipse directrice .

S'il s'agit du parcdwloïdc liyperboli(pic, l'ellipse yy' gg' t'st remplacée par le système de deux grands cercles gg\ yy' parallèles aux plans directeurs do la surface; la courbe mm' est telle, que le segment de l'arc tangent à celle courbe compris entre les deux cercles fixes gg' et yy', esl divisé par le point de contact en deux parties égales; la courbe supplémentaire tin' est, par conséquent, une eonicjue sphérique ayant pour foyers les pôles des cercles gg\ yy' \ et la conclusion est la même que pour l'iiyperboloïde.

Enfin, on déduit immédiatement du théorème précédent une équation générale des lignes de courbure, contenant xnie constante arbitraire, et qui, combinée avec réi|uation de la surface, détermine entièrement ces lignes. Tous ces résultats, d'ailleurs, peuvent être transportés ensuite aux autres surfaces du second degré. Il suffit, pour cela, d'employer la méthode analytique ordinaire, par laquelle on passe d'un calcul relatif

à l'ellipsoïde '---{--, 1 ;= », pai' exemple, au calcul ana-

loiiuc relatif à riiyperboloide — -i- V = ' i pai' le simule

cliangement de c^ en — C".

Remarque I. De la définition générale des lignes «/f' que nous venons de donner, on peut déduire, successivement, les équations générales des lignes nn'^ des lignes supplémentaires mm' {dont les projections centrales sur un plan convenablement choisi sont des cercles) ; et enfin des polaires réciproques/?//de ces dernières, par rapporta l'ellipse directrice : les lignes /?/.»' étant encore des courbes du second degré dont les axes coïncident, en direction, avec ceux de l'ellipse directrice. Or^ le rayon de la sphère aboutissant au point p est parallèle au diamètre conjugué du plan tangent en A. ou au diamètre

SLUFACES GAUCHES l65

(.le rhypcrboloïtlo ([ui aboulil au point A do Ja lit;iic de courbure AA'. Ps'ous aurons donc, par l'équation des coniques sjdiériques pp., l'équation générale des cônes du second tli-.^ré., concentriques à Vliyperholoïde, et contenant les lignes de courbure de la surface.

Reinan/ue II . La ligure spbérique déjà employée peut fournu', pour chaque ligne de courbure de la surface, la tangente uigonométrique de Finclinaison du plan osculatcur sur le plan tangent.

6"). Toula surface gauche dont les lignes de preudèrc couihure sont situées dans des plans parallèles, est un lijpcrholoïde de résolution.

En edet, l'on démontre aisément, à l'aide de quelques considérations de géométrie, et par l'emploi de l'équation générale (A) de Ja page i55, que les lignes de première courbure d'une pareille surface sont éqtddistantcs de la ligne de strielion, et que celle-ci est une trajectoire des génératrices rectilignes. On rentre donc dans le problème 3) de la page i58, cl la surface est un livperboloïde de révolution.

i08. Des lignes asyniptotiques d'une surface gauche quelconque. [P'oiryi. x/jS, remarque D. )

Dans toute surface gauche du second degré, les ligiies asymploiiques, qui correspondent aux génératrices rectilignes de rhaque système, sont les génératrices de l'autre système. JNous allons voir que les lignes asymptoliques d'une surface gauche (juelconque présentent, par lapport aux génératrices rectilignes de cette surface, des propriétés métriques idcnti(jues à celles <jui ont lieu entre les deux systèmes de génératrices rectilignes d'une surface du second degré. [Foir la fig. 43, p- ^4^')

Soient, comme à l'ordinaire, aa' l'indicatrice sphérique d'une ligne asymplolique, et gg' la ligne formée par les extrémités des rayons de la sphère parallèles aux génératrices rectilignes de la surface : aa' sera l'enveloppe des arcs de grand cercle ga^ g' t^' •, et l'on aura, par la formule (6), pag-î 147

-- -^ W COS !p

l66 niEMlÉRE PARTIE. CHAPITRE NEUVIEME.

i désignant Tinclinaison delà ligne asymptolique sur la'géné-

ratrice correspondante. On a trouvé d'ailleurs (formule 3,

page 145),

dKàzm' cet / = ces o :

et la multiplication metnbre à membre de ces relations donne

k(dB.±Tj')cos'o = M'±d'D = o>'±{k.dR-\-RdA)cos'<f.

Or, on voit aisément que le signe supérieur du second membre doit être rejeté, sans quoi dV\ disparaîtrait de la relation précédente, qui se réduirait dès lors à une équation ;?nie en R, sans constante arbitraire, et fournissant pour chaque génératrice un nombre déterminé de valeurs de R, ce qui serait absurde. Oiî trouve donc, en prenant le signe inférieur,

(11) ( 2 A- . ^R H- R. f/X±:X- . rs') cos> = w',

pour équation générale des lignes asymptotiques.

i). Supposons la surface à plan directeur^ ou posons w'=:o ; il viendra, en considérant simultanément deux lignes asymptotiques, et en désignant par R, Pi' les distances (de même signe ou de signes contraires) des points correspondants de ces lignes à la ligne de striction,

2 /! . f/R -+- R . dk dl / . ct' = o, 2 / .dK' + R'.f// ± /• . ^'' = o ; d'où, par soustraction,

ou encore

r/(R'— R) dk ^' R' — R '^ k

d'où, enfin,

(R' — R)^=:constan

Si Ton applique, en outre, cette formule au système formé de la première des lignes asymptotiques précédentes, et d'une troisième, caractérisées respectivement par les distances R et R";

011 aura, de même,

[b] /?(R" — R)^" constante = C",

ot Ton déduit, de la comparaison des formules [a] et [h)^ la relation

Donc, dans toute surface gauche à plan directeur, les lignes asymptotiques divisent deux génératrices quelconques de la surface en segments proportionnels; ce qui renferme la propriété bien connue du paraboloïde hyperbolique dont les lignes asymptotiques sont précisément les génératrices rectilignes du second système.

Il résulte encore de là, que les n droites joignant les traces^ sur deux génératrices déterminées, de n lignes asymptotiques de la surface, sont n génératrices d'un même paraboloïde.

\'). Si, indépendamment de la condition o/=o, on pose encore k = constante , la formule (a ) se réduit à

(«') R' — R= constante,

et deux lignes asymptotiques déterminées interceptent desscgnicnts égaux sur toutes les génératrices.

i"). Si l'on pose simultanément w' = o et cî' = o, auquel cas la surface est engendrée par des perpendiculaires à une droite fixe., menées par les différents points de cette droite; l'équation générale (i i) se réduira à

2X.r/R + R.rM =0, d'où

[a") ^.R-= constante,

qui se réduit elle-même à

[a'") R=constante;

quand on ajoute aux précédentes la condition Â= constante : la surface est alors un hélicoïde, et ses lignes asymptotiques sont les trajectoires orthogonales des génératrices.

2). Revenant au cas général d'une surface gauche quel- Fig- 47- conque, nous aurons, en appli-

quant simultanément à deux li- \ \ \ \ gnes asymplotiques AB, A'B',

-• ^ — ^ ^ l'équation (11) préalablement di-

visée par w .cos cp = rr^r-.''

(IK' , dk , /icj' , ,

d'où, en retranchant membre à membi'e , et posant R' — R = AA' = r',

{b} ih.%+r' . lf^ = /V'(R' + R) = /V'(/ + 2R).

Appliquant ensuite, simultanément, cette dernière équation aux deux systèmes formés par les lignes asymptotiques AB et A'B', ABet A"B"-, nous aurons, en posant encore B" — R= AA" = r",

dr' , dk

De là, en multipliant la première par — r", la seconde par H-/'', ajoutant ensuite, et remarquant que R disparaît, ainsi que le dk .,

ra

pport différentiel —75 il vient

r'.dr"-r".dr' . , „, „ „ 2 zz^h r r [r — r ^

équation qui représente le système des trois lignes asymptoliquesAB, A'B'etA^B".

Appliquant enfin cette dernière équation (c) aux deux systèmes de trois lignes asymptotiques AB, A'B', A"B", et

AB, A'B', k"'W'-. et éliminant l'élément différentiel —

entre les équations résultantes, nous aurons cette équation différentielle du système de quatre lignes asymptotiques quelconques :

Cette équation prend , successivement, les formes suivantes :

dj dx dj dj dx dx

d'où, eu intégrant et désignant par C la constante introduite,

de là enfin, en remplaçant y et x par leurs valeurs — et — ?