I . -^ sinil -s.n^7 = ^7R

ou

(12) X . R = w . sin n :

telle est l'équation générale des lignes d'ombre. La constante m qui y entre ne dépend que de l'inclinaison des rayons incidents sur l'axe de la surface, et les coordonnées courantes sont Pi et fi, : cette dernière désignant l'angle que la génératrice reclilignequi passe par un point quelconque de la ligne d'ombre considérée fait avec la génératrice fixe, issue du point où cette ligne rencontre la ligne de striction.

Applications, i). Théorîîme I. Les lignes d'ombiT, issues d'un même point de la surface, dii^isent les génératrices rect dignes en segments proportionnels.

Démonstration. Soient k.V>.^m«,\nQ, /^•.R'= w'sin(ii + a'), /?-.R" = w" sin (ii-|-a"),

les équations de trois lignes d'ombre lAAi, lA'A'j, IA"A"i, issues d'un même point I de la surface, et rencontrant une génératrice rectiligne quelconque suivant les points A, A', A" dont les distances à la ligne de striction sont R, R', Pv", : cfJ et a" désignant d'ailleurs, dans ces équations, les angles que forment avec la génératrice du point où la première des trois lignes

172 l'UEMlÈltE PARTIE. CHAPITUE AELVIEME.

précédentes rencontre la ligne de striction, les généraliicos des points analogues relatifs aux deux dernières. On peut mettre ces équations sous la forme

sin r2 = ;

sin il cos a + CCS il . sin a = ,-

sin i> . cos a -f- cos a . sin a = — -

et si, après avoir éliminé cos fl entre les deux dernières, on remplace, dans 1 équation résultante

sin il . sm (a — a' = / -— sin a ^ • sin a' ,

sin n par sa valeur lirée de la première, il vient, en divisant par A,

(A j — . sin (a — a )=:—-. sin v • sin a :

et de là, en posant

R' = R -1- /, R" = R 4- r" ; ou TÂ^ = /, AA! = r" ,

,.,, ^ rsin(a" — a'; sin a" sin a' 1 /' . „ /" .

(A ) R — ^ '- 1 — — — sm a' sin a'.

L "i m m J /;/ ni

Or, les trois lignes considérées concourant en un même point I, l'équation (A) du système de ces lignes doit être satisfaite par la substitution R=z: R'=:R"; ou l'équation (A'), par Tliypothèse /■'= ?-"= o. Le terme en R disparaît donc de l'équation (A') qui se réduit à

/•' A A' (12)1 -77 = -^ — 7, = constante:

r AA

et la proposition est déinonliée.

2). Théorème II. Les i rois sommets c^ un triangle variab/e abc, (lotit les côtés sont formés par des lignes cVonihre, S^'^~ sant respcctn'cnient sur trois génératrices déterminées A, B, C

SURFACES GAUCHKS. 1^73

(le lit surface, et las deux premiers côtés ab et bc rie ce triangle tournant conslanwiejit autour rie deux points douTiès y et a : le côté libre ac de ce triangle passera constamment par un troisième /Joint fixe [6 -, et les trois pôles ct^ |3, y appartiendront à une même ligne d^ ombre.

Démonstration. Considérant le triangle variable dans deux quelconques de sfs positions abc, a b' c' ., réunissons les deux pôles donnés y, a par une ligne d'ombre qui aille reucontrciaux points A, 13, C les génératrices données, de mêmes noms; et qui soit rencontrée elle-même, au point (3, par le troisième côté ac du premier triangle. Pour établir que le côté bomologuc a' c' du second triangle passe aussi par le point (3, il suffira, en vertu du théorème précédent, d'établir l'égalilé

Art C r

Or, en verludu même théorème, les trois lignes d'ombre issues du point y, divisent les génératrices A et B en segments proportionnels ; il en est de même des lignes d'ombre issues du point cr, lelativement aux génératrices B et C. On a donc les deux égalités :

Art B/; BZ» Cf

qui eulraincnt Tégalité (x) et le théorème énoncé.

3). Théguème III. Réciproquement , les trois côtés d'un, triangle variable abc formé par des lignes d'ombre, tournant respectivement autour de trois })oints fixes a, (3, y situés sur une même ligne d'ombre, et les deux premiers sommets a eth du triangle décrivant deux génératrices données AetB: le sommet libre c décrira pareillement une troisième génératrice .

Démonstration. Prenant le triangle variable dans deux de

1^4 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE NETrviÈME.

ses positions abc^ a'b'c'^ menons la génératrice qui passe par le sommet c' du second ; et, pour démontrer qu'elle passe aussi par le sommet c du premier, supposons qu'elle coupe en deux points distincts, c, et Cg, les deux côtés hc et ac de ce triangle. Si l'on appelle C le point de rencontre de cette génératrice et de la ligne d'ombre ay(3, on trouvera, par l'application du théorème I à chacune des séries de lignes d'ombre, issues des points a, (S, y; et par la définition des points Ci, c^ :

Ce, Bh Cc2 Art An ^b C7~B6'' C?"~ÂV' 'kâ'~'ËF'

d'où, par compa

raison,

Ce-, Cfj Ce"' ~c7

Ce, =r Ce,

Les points Ci, c, sont donc confondus en un même point, qui est le point c\ et le théorème est démontré.

Observation. Les deux théorèmes précédents peuvent s'appliquer à un polygone curviligne d'un nombre quelconque de sommets, pourvu que l'on suppose que les pôles des différents côtés du polygone appartiennent à une même ligne d'ombre.

4). Si /rt li^ne de striction de la surface considérée est une ligne droite, l'équation (12) de la page 171,

/, .R = m . sin £1,

représentera la projection sur le plan directeur d'une ligne d'ombre quelconque, rapportée aux coordonnées polaires R etlî. Si l'on pose, en outre, A= constante, la sur/ace déifient un hélicoïde, et l'équation précédente représente un cercle. On en conclut que, dans r hélicoïde gauche., les projections sur le plan directeur des lignes d'ombre relatives à des rayons incidents parallèles, sont des cercles, passant par le pied de V axe sur ce plan. (De la Gournerie, Journal de t École Polytechnique, 1 85 i .)

Remarque. Dans une surface gauche (juelconque, quatre

lignes d'ombre^ issues fïun même point de la surface et relatives à des rayons incidents parallèles , coupent une génératrice rectiligne quelconque en quatre points dont le rapport anharmonique est constant ?

JNous pourrions démontrer celle proposilion dans le cas particulier où le cône directeur de la surface est de révolution, et lorsque le point de concours des lignes d'ombre appartient à la ligne de striction, La démonstration est d'ailleurs toute semblable à la précédente, et n'exige que des calculs plus longs.

La proposition énoncée sous forme interrogative est donc probablement vraie. Elle est d'ailleurs d'une vérité évidente pour les surfaces du second degré; et ce dernier cas contient peut-être le cas général : De la même manière que la propriété bien connue des deux systèmes de génératrices recti lignes de l'hyperboloïde peut conduii^e, par une méthode que nous a indiquée M. O. Bonnet, à notre théorème sur les lignes asymptotiques d'une surface gauche quelconque.

110. Scolie. Le rôle de l'indicatrice sphérique, dont nous avons cherché à établir l'importance dans l'étude des courbes tracées sur certaines surfaces spéciales, s'amoindrit singulièrement, ou disparaît même d'une manière totale, quand il s'agit d'une surface quelconque. On a vu déjà, en effet, combien est imparfait notre procédé pour la représentation sphérique d'une surface de révolution-, et en exceptant les surfaces réglées, ciui se prêtent le mieux à notre méthode, il paraît difficile de représenter sphériquement, d'une manière utile, les diverses courbes tracées sur une surface quelconque.

Toutefois, quand on a seulement à considérer certaines courbes spéciales tracées sur une surface, l'emploi de lignes sphériques auxiliaires, liées à ces courbes suivant de nouvelles lois, peut encolle otïrir de grands avantages, alors môme que la surface demeure absolument indéterminée.

Ainsi, considérant une surface quelconque S et ses deux

systèmes de lignes de courbure, supposons menés par le centre d'une sphère des rayons parallèles aux normales de la surface suivant les divers points de chacune de ces lignes. A chaque ligne de courbure de la surface correspondra une ligne sphérique particulière, et les tangentes en des points correspondants de ces deux liçnes seront parallèles. Il résulte, en premier lieu, de ce parallélisme, que les deux séries de lignes sphériques, ainsi conjuguées aux lignes de première et de seconde courbure de la surface, formeront, comme ces dernières, un double système orthogonal . En second lieu , si la surface considérée admet une ligne de courbure plane, la ligne sphérique conjuguée ayant ses tangentes parallèles à un même plan, sera plane et se réduira à un petit cercle de la sphère, dont le plan sera parallèle à celui de la ligne de courbure. D'ailleurs, et cette conséquence très-simple parait ne pas avoir été reniai^quée, le théorème de M. Toachimstal est rendu évident par l'emploi de ces considérations : puisque les rayons de la sphère ont une inclinaison constante sur le plan du petit cercle, etque ces rayons soûl parallèles aux normales delà surface primitive , menées par les ditlerents points de la ligne de courbure plane considérée.

Tels sont les principes de réléganle méthode employée par M. O. Bonnet dans l'élude des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes, et dont le problème suivant offre une application. [Journol de l'Ecole Polytechnique, i853.)

Problème. Toutes les lignes de courbure d'une surface étant planes, trouver les relatio?is de position qui peuvent exister entre les plans de toutes ces lignes.

Solution. Les deux séries de lignes de courbure de la surface étant composées de lignes planes, le système des lignes sphériques conjuguées se composera de deux séries de cercles formant un double système orthogonal ; el les plans de ces cercles étant parallèles aux plans de ces lignes, il suffira, pour répondre à la question, de résoudre le problème suivant :

Trouver sur la sphère les deux séries les plus générales de

cercles formant un double système orthogonal , et définir les relations de position que présentent les plans de tous ces cercles .

1. Admettons, ce que nous démonlrerons à la fin, que si les cercles du second système ne se coupent pas, les cercles du premier se coupent nécessairement deux à deux ^ et soient A et B les points d'intersection de deux cercles déterminés du premier sjslème, lesquels sont coupés à angle droit par tous les cercles du second. Formons la projection stéréograpliique des deux séries de cercles, en prenant le point A pour centre de projection, ou point de vue.

Les deux cercles de la première série qui passent par A et B, se transforment en deux droites distinctes, passant par la projection b du point B, et devant être coupées à angle droit par les projections des cercles de la seconde série. Ces projections sont donc tous les cercles ayant pour centre commun le point b.

D'ailleurs, les projections des autres cercles de la première série devant couper à angle droit les cercles concentriques en b, ces projections doivent se réduire à des droites passant par le point b. Donc, les cercles de la première série passent par les deux mêmes points A et B de la sphère.

2. Pour trouver, en second lieu, la définition des cercles de la seconde série, il suffit de remarquer que l'un quelconque

pj„ 5q de ces cercles se projetant

suivant une circonférence ayant pour centre le point b, le sommet S du cône circonscrit à la sphère suivant ce cercle est situé, d'après un théorème dû à M. Chasles, sur la droite AZ>, ou AB. Si donc on coustruit, par rapport au grand cercle AB, la polaire MN d'un point quelconque S pris sur le prolongement

178 PREMikuE PARTIE. CHAPITRE INELVIÈME.

de AB, MN sera le diamètre truii cerele de la seconde série, situé dans un plan perpendiculaire à celui du grand cercle AB. Or la polaire MN du point S passe par le point fixe P', pôle de h corde AB par rapport au grand ceicle AB. Donc les plans (les cercles rie la secouile série passent ))ar une droite fixe A'B' qui est perpendiculaire au plan AOB , ainsi qu'à la droite AB, et qui passe en outre par le pôle P' de cette dernière : cl le prf)blènic auxiliaire se trouve résolu.

3. Si l'on revient maintenant à la surface primitive, on retrouve ce théorème, dû à M. Bonnet : Si toutes les lignes de courbure d'une surface sont planes, les plans des lignes de chaque courbure sont parallèles à une même droite D, , ou D,; et les droites Di ,, D, sont perpendiculcdres entre elles.

4. tl nous reste à démontrer ce f|ue nous avons admis dans le n° 1 , à savoir que les cercles de Tune ou de l'autre série s(; coupent deux à deux. Examinant la question sur le plan, ])ar une substitution permise, supposons que les cercles de la première série ne se coupent pas. Il est évident d'abord que ces cercles, qui doivent se succéder dune manière continue, ne sauraient être extérieurs deux à deux. Considérons donc, en particulier, la figure formée de deux de ces cercles, intérieurs Fun à l'autre, et de tous les cercles de la seconde série; et construisons la figure réciproque de celle-là par rapport à un point o pris dans le même plan. Si le point o est convenal)lement choisi, la figuré réciproque se composera, d'après un théorème du à M. Liouville , de deux, cercles concentriques et des lignes, droites ou circulaires, qui les coupent orthogonalement. Mais on voit immédiatement que ces dernières lignes sont r//'o//<?5, et qu'elles passent par le centre commun des deux cercles. Delà, en revenant à la figure primitive, on voit c[ue les cercles de la seconde série se coupent suivant les deux mêmes points.

Remarque. Le problème auxiliaire précédent a été traité d'abord par Lagrange, pour le cas du plan (Académie de Beilin,

SURFACES GAUCHES. lyg

Nouveaux Mémoires^ ^779» P'^'gsiôi); et, récemment, par MM. Bonnet et Catalan, pour le cas de la sphère (Mémoire cité, et Journal de Mathématiques ^ tome XIX, page iSs). La solution précédente qui repose, comme celle de M. Catalan, sur les propriétés de la projection stéréographique, s'en sépare cependant, d'une manière très-nette, en ce qu'elle n'exige aucune considération d'analyse.