EN MOUVEMENT SUR UNE SURFACE

111. JN'evvloii, daus le livre des Principes^ a considéré le premier quelques cas, très-particuliers, il est vrai, du mouvement d'un point sur une surface. La lo'' section du P' livre, ayant pour titre : Du mouvement des corps dans des supevjicies données, et des oscdlations des corps suspendus par des fils, contient en etlet, — indépendamment de cette observation générale que tout ce que l'on sait, relativement au mouvement d'un point sur une courbe plane, peut être transporté au mouvement sur une surface de révolution dont la courbe considérée serait une section méridienne, — deux propositions relatives au mouvement, sur une surface de révolulion quelconque, d'un point soumis à une force passant constamment par l'axe de la surface. Newton remarque, dans ce cas, que les aires décrites par la projection du mobile sur un plan perpendiculaire à l'axe, sont proportionnelles aux tenq)s : et cette observation renferme, comme nous l'avons montré dans la P*^ Partie, la propriété bien connue des lignes géodésiques d'une surface de révolution.

Euler, traitant ce sujet avec plus d'étendue, résolut, dans le dernier chapitre de sa Mécanique (tome 11,'pages 457-5oo), divers problèmes dignes d'intérêt, relatifs au mouvement d un point sur un cylindre quelcou(jue, sur un cône ou sur

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viiie surface de révolution. La solution qu'il y donna du problème du pendule spliérique a seule été reprise depuis, par divers analystes, et perfectionnée avec d'autant plus de soin, que l'on est plus généralement convenu de borner à ce seul cas particulier l'étude du mouvement sur une surface.

Il suffit d'ailleurs, pour expliquer l'inactivité de la science sur ce point, de remarquer que l'étude, directe et géométrique, du mouvement sur une surface exige, essentiellement, la notion préalable de la courbure géodésique et l'emploi de foi^mules fournissant l'expression géométrique de cette courbure pour les diverses lignes tracées sur la surface que l'on considère : de la même manière que l'étude des diverses lignes planes que peut décrire un mobile soumis à l'action de certaines forces, a dû être précédée de l'étude géométrique de la courbure de ces lignes. Or, non-seulement la notion de la courbure géodésique est une des acqviisitions les plus récentes de la théorie des lignes tracées sur une surface, mais encore les formules qui donnent l'expression de cette courbure, sur certaines surfaces particulières, sont peu «ombreuses et peutêtre même peu appropriées, dans leurs formes actuelles, à l'objet dont nous parlons. Il en résulte que l'étude du mouvement sur une surface ne pouvait guère être abordée, géométriquement au moins et avec quelques fruits, avant l'époque actuelle 5 et que, même aujourd'hui, et jusqu'à de nouvelles recherches sur cette matière, elle devra se borner à quelques surfaces spéciales, telles (jue la sphère, les surfaces coniques ou cylindriques et les surfaces de révolution : les seules pour lesquelles on ait encore des expressions suffisamment géométriques de la couibure géodésique. Telles sont, du moins, les limites dans lesquelles nous nous sommes tenu, et que nous n'avons pas essayé de dépasser. On voit cjue ce sont à peu près les limites déjà atteintes par Euler. On trouvera néanmoins dans notre travail plusieurs résultats nouveaux, parmi lesquels nous citerons deu-x théorèmes généraux relatifs à la réduction du mouvement sur une surface conique ou cylindrique quel- «oncpif^. nu mouvement sur le plan ; des propriétés non encoie

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observées du mouvement du pendule spliérique; de nombreuses et intimes analogies entre le mouvement sur la sphère et le mouvement sur le plan • quelques recherches sur le mouvement d'un point sur une surface, gauche, ou de révolution; enfin un théorème, relatif à la représentation géométrique de la vitesse et du temps , dans une brachistochrone plane ou sphérique, et fournissant la division d'un arc quelconcpie de la couibe en arcs partiels isochrones.

Quant à la méthode que nous avons suivie, elle se traduit ])ar des formules absolument nouvelles. L'une d'elles met en évidence les divers éléments géométriques dontdépend la pression exercée par le mobile sur la surface ; éléments déjà contenus, il est vrai, mais non encoie explicitement reconnus dans la formule ordinaire. Mais celle de nos formules qui nous parait offrir le plus d'intérêt, est celle cpii fournit l'expression générale delà vitesse du mobile. Quoique ayant la même origine, elle est absolument distincte de la foiniule ordinaire, déduite du principe des forces vives; car, tandis que celle-ci renferme la grandeur et la direction relative de la force extérieure, et paraît, dans certains cas au moins, indépendante de la forme de la trajectoire dans l'intervalle des points extrêmes; la direction relaii<^e de la force extérieure entre seule dans la première, qui contient une intégrale dont les éléments et la valeur dépendent essentiellement de la forme de la trajectoire. La ( onqiaraison des deux formules , quand elles sont l'une et l'autre iiitégrables, fournit d'ailleurs une première équation, en termes finis, de la trajectoire.

112. Notation générale. Un mobile se mouvant sur une surface quelconque, celle-ci divise l'espace en deux régions dont l'une quelconque peut être considérée comme intérieure. Nous supposerons toujours le mobile placé sur le bord interne de la surface, de telle sorte qu'il ne puisse se détacher de celleci qu'en entrant dans la région intérieure : la réaction exercée par la surface sur le mobile étant, dès lors, dirigée en chaque point suivant la normale intérieure.

l84 SECONDE PARTIE. CHAPITRE DIXIEME.

rSous appellerons : jN la valeur absolue de la réaction normale, el R le rayon de courbure de la ligne géodésique tangente ;i la trajectoire du mobile; G la valeur absolue delà force extérieure sollicitant le mobile: y l'angle, aigu ou obtus, formé par la direction de cette force avec la normale intérieure, et V l'angle, aigu ou obtus, que fait la projection de celte force sur le plan tangent à la surface avec la tangente à la trajectoire, dirigée dans le sens du mouvement.

Enfin nous désignerons par u la vitesse du mobile, et par ^•*5 ^gi 'è' ' l'arc élémentaire, l'angle de contingence géodésique, le rayon de courbure géodésique et le ravon de courbure absolue de la trajectoire; le plan osculateur de cette dernière faisant avec le plan tangent à la surface un angle a, dont le

complément ^ a mesure l'angle du rayon de courbure r de

la trajectoire et de la normale intérieure à la surface. Nous supposerons toujours ce dernier angle aigu; et nous prendrons la masse du mobile pour unité.

Du luomu^mcut criui point sur une siirjace quelconque.

W'd. Théoiœme fowdamewtal. Un point maléricl se mouvant sur une surjace quelconque, sous V influence (T une force extérieure G et de la réaction normale IS de la surface : la composante de la force extérieure suivant celle des normales à la trajectoire qui est tangente à la surface a pour valeur,

en chaque point, — ; et la jyression exercée par le mobile sur

la surface est égale à — — G cosy, Gcos y désignant la composante, positive ou négative, de la force extérieure suivant la normale intérieure à la surjace.

Démonstration. Le mobile étant regardé comme se mouvant librement dans l'espace, on sait que le système formé de la force extérieure G et de la réaction normale N de la surface

DU MOUVEMENT SUR U]SE SURFACE. l85

est équivalent au système — et - des composantes, tangen-

tielle et normale, de l' accélération totale. 11 en résulte que la somme des composantes des forces du premier système, suivant une direction quelconque, est pareilleiuent équivalente à la somme des composantes des forces du second système, suivant la même direction. Or, pour la direction considérée, Ant, perpendiculaire à la fois à la force N du premier système et à la

force — du second, la première somme se réduit à la composante de la force extérieure G, et la seconde à la composante de la force - dirigée suivant le rayon de courbure /• de la trajectoire; et comme ce rayon fait, avec la direction de projection, un angle mesurant précisément rinclinalsou a du plan osculateur de la trajectoire sur le plan tangent à la surface,

cette dernière composante est égale à - cos a , ou à 1

^ ^ r /• : cos a

ou à — [voir page 8, n° 8).

Quant à la pression (égale et contraire à la réaction N) exercée par le mobile sur la surface, il est évident fju'elle se

compose de la pression — (dirigée

suivant la normale extérieure) qu'il exercerait s'il continuait à se mouvoir librement, avec sa vitesse actuelle, sur la ligne géodésique tangente à la trajectoire ; etdelacomposante normale — G cosy de la force extérieure : de sorte que l'on a pour la valeur de la pression

rapportée, quant au sens, a la normale extérieure, — — Lrcosy.

Que si celte composition de la pression ne parait pas suffisamment évidente, on pourra l'établir rigoureusement, par les considérations ordinaires, en remarquant que la somme des composantes des forces N et G suivant la normale Intérieure

ibO SECONDE PARTIE. CHAPITRE DIXIÈME.

AN à la surCace est égale à JN H- G cos y 5 tandis que la somuic analogue pour les forces équivalentes — et — scréduilà — s'ina,

de ces valeurs conduit bien à la formule

ou, d'après le théorème de JMcunler, à p ; et la coinparaisou

^^ = ^-Gcosv.(*)

114. CoROLLAir.E. On déduit immédiatement de le théorème ces trois formules générales :

<•/ . I'- cos V (h Cg

v'' sin V /v " ' tany V

— = G sin 7 . sitî V ,

G sin 7 . sinV

(III) N = -Gcos7.

Les deux dernières ne sont que la traduction analytique du théorème précédent; et la pi^emière formule résulte de la combinaison de la seconde avec l'équation, déduite du principe des forces-vives,

d. i''-= 2 (G sin 7) .<-osV.^/.v.

Enfin, la combinaison des formules (II) et (III) donne

(*) Cette seule partie de la démonslrati&n suppose une restriction dans le choix, que nous avons dit déjà être arbitraire, de celle de deux régions de l'espace que l'on dit intérieure par rapport à la surface : et pour que la valeur de la pression, ou de la réaction normale, subsiste telle qu'elle résulte de la for- •mule (III), il convient d'appeler /lar/Mrt/e iniéricurc de la surface celle des deux directions delà normale qui coïncide avec la direction du rayon de courbure R de la ligne géodésique tangente à la trajectoire. Quant au\ formules ( I ) et ( Il ), elles demeurent vraies toujours, et indépendaninn-ni de (•ctlo restriction.