DU MOUVEMENT SUR UNE SURFACE

encore par rélimlnalion de y,

(IV) G^=l——^\ + --N

Quanl au rôle général de ces formules, on voit que la première fournira l'expression de la vitesse, toutes les fois du moins que l'intégration qui y est indiquée pourra être effectuée; et c'est ce qui arrivera dans toutes les applications que nous nous proposons de développer. La formule (II) donnera ensuite pour le rayon de courbure géodésique de la trajectoire, une valeur parlîcu/icre , dont la comparaison avec l'expression générale du rayon de courbure géodésique d'une ligne quelconque tracée sur la surface considérée, fournira enfin l'équation différentielle, entre certaines coordonnées à la surface, de la trajectoire cheichée.

On pourra d'ailleurs, dans certains cas, se dispenser de l'intégration que suppose la formule (I) , et qui exige quelquefois, comme nous le verrons, une discussion minutieuse des signes, en déterminant la vitesse par des considérations particulières.

Remarque I. Il est essentiel, au point de vue des applicalionsque nous aurons à faire de ces formules, de remarquer c[ue

l'intégrale / ——-■■, qui ligure, en exposant, dans la première, J lang V

(et dans laquelle on regardera Vangle Cg comme essentielle-

ment positif, el tangV comme posiù\^e ou négatiwesitii'a/it que

l'a/ig/cV sera aigu ou oblus) a bien reçu le signe qui convient

à la valeur de la vitesse. On déduit en effet, de cette formule.

taner V

Or, u et e^ étant positifs, on voit que les différentielles cA', r/ . i^^, seront positives ou négatives, suivant que l'angle \ sera aigu,

ou obtus. C'est ce qui doit être, en effet: car- fl.v^ est mesu- 1 ' '2

rée, en grandeur et en signe, par le travail élémentaire correspondant de la force-, et ce travail, se réduisant à celui de la composante (j sin y (\m fait un angle V avec la direction du

l88 SECONDE PARTIE. CHAPITRE DIXIEME.

mouvement, est positif, ou négatif, suivant que l'angle V est aigu , ou obtus.

Remarque II. La formule (I), indépendamment du rôle important qu'elle doit jouer dans la suite de ces recherches, peut paraître curieuse en elle-même, si l'on remarqua qu'elle fournit une expression analytique de la vitesse qui semble indépendante de la grandeur de la force qui produit le mouuement^ el paraît ne dépendre que delà direction de cette force et de la forme de la trajectoire. Celte indépendance toutefois n'est qu'apparente : car, la direction des forces étant donnée, la forme même de la trajectoire dépend évidemment de la loi qui régit les variations de grandeur de ces forces.

§ II

Du moui'emenl d'un point sur un cylindic.

J15. Si nous supposons que Xa. projection de la force extérieure G sur le plan langent soit dirigée en cliaque point suivant la génératrice du cylindre , V désignera dans les équations précédentes Tinclinaison de la trajectoire sur la génératrice; et l'on trouvera, pour la valeur absolue de l'angle de contingence g^éo^é^V/i^e de la trajectoire cylindrique, ou pour l'angle de contingence absolue àe celte trajectoire transformée par le développement du cylindre sur un plan,

eg= — clV ,

l'angle, aigu ou obtus, V, que la direction du mouvement fait avec la direction de la force, allant constamment en diminuant.

L'intégrale | - — ^^—: contenue dans l'équation (I) devient

alors

*cosV.^/V

sin V

cl l'on en déduit

^ ' sinV