DU MOUVEMENT SUR UN CYLINDRE

Si Ton désigne, en outre, par p' le rayon de courbure de la ligne plane suivant laquelle se transforme la trajectoire cylindrique du mobile par le développement du cylindre sur un plan, on pourra remplacer /•„ par p' dans la formule (U) qui deviendra

(2) — = Gsin7 . sin V.

Or les équations (i) et (2) sont précisément les équations qui définiraient le mouvement, dans le plan , d'un mobile soumis à l'action d'une force dont 1 intensité, constante ou variable, serait mesurée en chaque point par G sin y, et qui serait parallèle à une direction fixe , V désignant alors l'angle de Ja tangente à la trajectoire avec cette direction. On a denc ce théorème général :

Un point matériel se mom^ant siw un cylindre quelconque^ sous Vinfluence de la réaction normale de la surface et d'une force extérieure dont la projection sur le plan tangent est dirigée, en chaque point, sui^^ant la génératrice du cylindre : si^ à une époque quelconque du moui^ement, on suppose développés tout à coup sur un plan le cylindre et la trajectoire du mobile , et si l'on conçoit en outre que les forces qui produisaient le mouvement primitif, estimées suivant les génératrices^ conservent, dans ce développement , leur direction et leur intensité^ le mobile , sous l'influence de ces forces, continuera à décrire dans le plan^ avec les mêmes vitesses aux mêmes points, la transformée de la trajectoire qu'il eût décrite sur le cylindre.

Quant à la pression exercée par le mobile sur la surface, on trouve d'abord, en remplaçant v par sa valeur actuelle (i) dans l'équation (III),

Nr=— — — GCOS7.

Rsm'V

D'ailleurs, si l'on désigne par p le rayon de courbure de la section droite du cylindre au point considéré, on a [voir page 7, formule I) pour le rayon de courbure de l'hélice

lyo SECONDE PARTIE. CHAPITRE DIXIÈME.

tangente à la trajectoire en ce point, et coupant par suite les génératrices du cylindre sous l'angle \ ,

sin-V

d'où

Rsin'V û' on a donc, définitivement, (3) N=r Gcosy.

116,. Il résulte du théorème précédent que tout ce que l'on sait sur le mouvement, dans le plan , d'un point matériel soumis à l'action d'une force constante ou variable, mais de direction fixe, peut être transporté au mouvement sur un cylindre quelconque.

Si l'on se place, en particulier, clans le cas ordinaire de la pesanteur, et si l'on suppose le cylindre 'vertical, on retrouve un résultat déjà obtenu par Euler, et qu'il énonce ainsi : Curva crgo, quam corpus in superficie cylindri describit, si superficies in planuni explicetur, ahibit in parabolam, ipsam scilicet trajectoriam, quam corpus projectum in piano verlicali descriheret [Mechan., t. II, 97, coroll. I, p. 486). On a en outre, dans ce cas,

et, par suite,

d'où l'on voit que la pression qui , dans le cas d'un cylindre quelconque, est proportionnelle en chaque point à la courbure de la section droite, demeure constante quand le cylindre est de révolution^ ce qui est conforme aux résultats obtenus par Euler (page 487).