DU MOUVEMENT SUR UN CYLINDRE
Remarque. La comparaison des deux formules
" .' '^ [voir page i3o, formule 36),
" g-sm'V ® sin-V
qui donnent le rayon de courbure géodésique de la parabole cylindrique et d'une ligne quelconque tracée sur le cylindre, conduit à la relation
sin V. tarifa =: =r C == constante,
dans le cas où le cylindre est de révolution. On en déduit aisément cette propriété, qui peut servir à la construction du plan osculateur : En chaque point de la parabole cylindrique, la trace du plan osculateur de la courbe sur le plan de la section méridienne correspondante coupe Vaxe du cylindre sous un angle constant. Enfin on peut déduire de la même formule 1 équation de l'indicatrice sphérique de la parabole cylindrique, ainsi que le rayon de courbure sphérique de cette indicatrice : et Ton trouve ainsi, pour les rayons de première et de seconde courbure de la parabole cylindrique, les valeurs suivantes :
/-g p sin a p 2 r?
' cos« sin^V ' sin'a.sinVcosV '' ^ sin^V.cosV
117. Des formules et des conséquences semblables subsisteraient encore si Ton supposait la projection de la force sur le plan tangent dirigée en chaque point suivant la tangente à la section droite du cylindre, V désignant alors dans ces formules l'inclinaison de la trajectoire sur la section droite, ou le complément de son inclinaison sur la génératrice du cylindre.
Du mouvement d'un point sur un cône.
118. Si l'on suppose, comme dans le § précédent, la projection de la force extérieure sur le plan tangent dirigée en chaque point suivant la génératrice du cône, V désignera.
dans les formules générales du § I, l'inclinaison de la trajectoire sur les génératrices du cône-, et il suffira, pour obtenir les équations du mouvement, de déterminer l'expression de e^ , ou de l'angle de contingence de la trajectoire développée sur un plan , en même temps que le cône sur lequel elle est tracée. Soient donc, mm' la trajectoire développée tournant sa con- F'S- ^3 cavité 'Vers le sommet s, qui joue le rôle
décentre des forces attractives; sm=r, sm' = r -\~ dr, deux rayons vecteurs infiniment voisins formant entre eux un angle dB et coupant la courbe en m, m' sous les angles aigus V et V-h V. Si l'on mène les tangentes mt, m' t^ la valeur absolue e^ de leur angle sera donnée par l'équation
ou
On a d'ailleurs, suivant une formule connue,
et comme on a suppposé, dans la figure, l'angle V aigu et la difïércntielle dr négative, on doit prendre le signe — dans cette formule, ce qui donne
On a d
onc eniin.
rf9= tangV.
dr — dV langV,
pour valeur absolue de l'angle de contingence géodésique de la trajectoire conique primitive.
L'intégrale / — - — t contenue dans l'éciuation (I), devient J tangV
alors
r dV Cdr ^ . ,^
J tangV J r
DU MOUVEMENT SUR UN CONE. ig'i
la quantité c^ ^""'"^^
ost
égal
le à
rsinV
.biii
et l'on a
Si l'on désigne, en outre, par p' le rayon de courbure de la ligne plane suivant laquelle se transforme la trajectoire conique du mobile par le développement du cône sur un plan, on pourra remplacer r^ par p' dans la formule (II), qui deviendra
(>- (2) — =: Gsin7.sinV.
Or les équations (i) et (2) ne dillèrent en rien des équations qui définiraient le mouvement dans le plan d'un mobile soumis à Taclion d'une force dont l'intensité, constante ou variable, serait mesurée en cbaque point par Gsiny, et qui serait constamment dirigée vers un centre iixe; /'désignant alors la distance du mobile à ce centre; et V, l'inclinaison sur la trajectoire de la droite qui mesure cette distance. On a donc ce second théorème général :
Un point maiéiiel se rnoui'ant^ sur un cône quelconque, sous l'influence de la réaction normale de la surface et d'une force extérieure dont la projection sur le plan tangent est dirigée en chaque point suivant la génératrice du cône ; si, à un instant quelconque du mouvement, on suppose développés sur un plan le cône et la trajectoire du mohile , et si Von conçoit en outre que les forces qui produisaient le mouvement primitif, estimées snivant les génératrices, conservent dans ce développement et leur intensité et leur direction^ en concourant par suite au sommet du cône développé : le niohile, sous r influence de ces forces, continuera à décrire dans le plan, avec les mêmes mtesses aux mêmes points, la transformée de la trajectoire qu'il eût décrite sur le cône.
Quanta la pression exercée par le mobile sur la surface, on trouve d'abord, en remplaçant v par sa valeur actuelle (i)
J9i SECONOE PVUTIK. CHAPITRE DIXIF.AIE.
dans la fonmilc (Ilî)
m = p ■ ,,- ;. — G cos 7 .
On a d'ailleurs, en remplaçant / par V dans la formule {'■^C)') de la page i35,
Ri.sin'V = sirirt ./■ tang A,
pour le rayon de conrbure Rj d'une ligne quelconque tracée sur un cône : a désignant dans cette formule l'inclinaison du plan osculafeur de cette ligne sur le plan langent^ A , le demiangle au sommet du cône droit, osculaleur du cône proposé suivant la génératrice considérée; et /* et \ ayant la même signification que dans les formules précédentes. Si donc on veut déterminer le rayon de courbure R de la ligne géodési({U(> tangente à la trajectoire au point considéré, il suffit de posci'
a =- dans cette formule. Il en résulte
Rsin-V = /■ tang A ; et la pression prend cette nouvelle forme
(3) N=^^^' ^ -G cos y. '
^ ' r^ tang A
(loTiOLLAiRE. Il résulte du tliéorème précédent que les diverses propositions, relatives au mouvement plan d'un poinL soumis à l'action d'une force centrale, peuvent être transportées au mouvement sur un cône cjuelconque. Ainsi , par exemple, la trajectoire du mobile sera, sous certaine condition relative aux circonstances initiales du mouvement, une liélice conique^ c'est-à-dire une trajectoire des génératrices rectilignes du cône, si la force agissant, sur le mobile lenrl constamment "Vers le sommet du cône, et si elle est inversement /nvj)ortionnelle au cube de la distance du mobile au sommet.
119. Scolie. Les résultats précédents, relatifs au cylindre et au cône, peuvent être généralisés, et étendus au mouvement d'un point sur une surface développable c[uelconque.
Considérons, en cO'et , la trajectoire d'un mobile sur un{>
