DU MOUVEMENT SUR LA SPHÈRE

pareille surface-, développons celle-ci sur un plan, et désignons par e' et /"' l'angle de contingence absolue et le rayon de courbure absolue de la transformée plane de la trajectoire primitive : on aura, d'après le théorème de M. Liouville [^voir page 8),

■gy

et l'on pourra écrire simultanément les formules suivantes, identiquement équivalentes, deux à deux :

(I) v — CeJ '■'"'^'^ , ou (i) t. = C<-t/ tansV.

(II) — = G sin 7 . sin V, ou (2) — =r G singy . sin V.

Or, les formules générales (l) et (II) sont applicables au mouvement dans le plan, pourvu cju'on y remplace les éléments relatifs à la couvhwre géodésiq ne de la trajectoire par les l^éléments analogues relatifs à la courbure absolue. Les formules (i) et (a) définissent donc le mouvement, suivant la transformée plane de la trajectoire primitive, d'un mobile sollicité par une force, dont la grandeur est Gsiny, et dont la direction fait un angle V avec la direction du mouvement. On a donc cet énoncé général : Dans tonte surface développahle, la trajectoire d'un point matériel qui se meut sur la surface^ et la vitesse du mobile en chaque point delà trajectoire, se conservent, dans le développement delà surface sur un plan; pomvu que la composante, suivant le plan tangent, de la force extérieure primitive conserve^ dans le développement^ sa grandeur absolue et son inclinaison par rapport à la trajectoire.

Du mouvement sur la splière,

120. Hypothèses et notation. Nous considérerons exc^/5/vement, dans ce qui suit, le cas du mouvement spliérique d'un mobile soumis à la réaction normale de la surface et sollicité par une force extérieure G, constamment située dans le

ig6 SFXOINDE PARTIE. CHAPITRE DIXIÈME.

plan déterminé par le mobile et par n)i diamètre fixe A A' de la sphère. Ce diamètre représentera, en particulier, la commune direction des forces extérieures, quand elles seront supposées parallèles*, et son extrémité inférieure A pourra, dans tous les cas, recevoir le nom de centre des forces coucourantes. Il résulte de celte hypollièse c|ue \a.couij)osante suivant le plan tangent^ Gsiny, de la force extérieure qui agit sur le mobile en /;«, est dirigée suivant la tangente à l'arc de grand cercle m A qui réunit le point m au point A; et que Tangle désigné piécédenmient par V n'est autre chose que rinclinaison de l'arc A m sur la trajectoire mm'.

Nous prendrons donc le point A pour origine des coordonnées polaires p = arc A m et ^ ; et nous désignerons par p l'arc de grand cercle, abaissé de l'origine perpendiculairement à l'arc de grand cercle tangent à la trajectoire en m; l'arc p élaiil défini par l'écjuation s\np =s\np sin\.

121. Cela posé, rcmar(|uons d'abord que la trajectoire du mobile est nécessairement située, par rapport an grand cercle tangent en l'un quelconque de ses points, du même côté que l'origine A des rayons vecteurs : car la composante utile de la force extérieure étant, par hypothèse, dirigée suivant la tangente au rayon vecteur sphérique qui aboutit au pôle A, son action a pour cHet d'écarter le mobile du grand cercle qu'il décrirait avec sa vitesse actuelle, si celte force était supprimée, cl de le rapprocher du pôle A. INous devons donc, d'après la Remarque II de la page 4-5, écrire

(Is sin p . c/p »

' Cg a . smp

pour le rayon de courbure géodésique de la trajectoire 5 d'où

c/.v d . s'mp ^ dp smp

D'ailleuis, on a toujours, en grandeur et en signe,

ds I .

dû cosV

DL' MOLVEMEJNT SUR. LA SPHliRE. \ gy

si en rL'suhc

I (^/.siti/y e„ (l . iiiujj (l . sin /'

* cosV siiio langV siiiVsiii^j sinp

L siny?;

lanj^V

t'I la SLibstilulion de celle di-niière valeur dans la foi iiuile (I ) de la page i86. nous donne d'abord,

sni/j sinpsinV

Doue : L(i vitesse., en chaque point de la irajectoite, est invcrscinciit j)i oporiioiiiielle an sinus r/e la distance sphérique du centre des forces concourantes^ à V arc de grand cercle langent Ck la trajectoire au point considéré. La formule (II)

'' Gsiny.sinV donne ensuile, en remplaçanl i- par sa valeur (!'),

" d.sinp G sin7.siri7>. sin V '

el la formule (III), dans laquelle le rayon de courbure II de la ligne géodésique tangente à la trajecloire sera i-eniplacé par le rayon de la sphère qui a été pris déjà pour unité, nous donnera enfin

(III') Nr=- — Gcos-/,

pour la pression exercée par le mobile sur la surface.

Telles sonl les équations générales déGnissanl les diverses circonstances du mouvement sphérique d'un point souînis à l'action de forces que l'on peut appeler co/^co«/V^/^?65; la seconde fournira l'équation difïérentielle, entre certaines coordonnées sphériques, de la trajectoire cherchée, quand, après avoir particulaiisé la loi des forces, on y remplacera G sin y par la valeur qui x'épond à la loi supposée; et sous leur forme gé~

I,9o SECONDE PAUTIE. — CHAPITRE DIXIÈME.

nérale actuelle, les équations (F) et (IF) sont analogues aux formules connues

([ui définissent, à chaque instant, la vitesse et le rayon de courbure p' de la trajectoire d'un point matériel se mouvant, dans un plan, sous l'action d'une force centrale. Nous verrons d'ailleurs que cette aiialogie, îjinsi constatée d'une manière générale, ne disparait pas dans les applications et devient, au contraire, plus frappante, quand on particularise, d'une manière semblable, la loi des forces qui produisent le mouvement sur la sphère et sur le plan.

Scolie. Les formules précédentes sont les seules que nous nous proposions d'employer. Nous établirons néanmoins deux autres formules, analogues à celles de M. Binet, et fournissant, en fonction des coordonnées sphériques p et '\) de la trajectoire, les expressions générales de la vitesse du mobile et de la force centrale qui accélère le mouvement.

On a d'abord

«-/o'-f- sin'r..r/-i'

„2 '__ — — \ L , et sm'p . d-h =L C dt,

dt- ' ^ '

C désignant une constante; cette dernière relation provenant de ce que la projection du mobile, sur un plan perpendiculaire au diamètre central, décrit des aires proportionnelles aux temps.

On a donc, par l'élimination du temps,

;iv)

Cette formule n'est d'ailleurs que la traductiou, sous Ibrmc

DU MODVEMEJNT Sl'K LA SVIIÈRE. 199

clilïoreiuielle, de lY'cjualion [V)

sin/-! siri o. sin V

Si l'on désigne ensuite pai-R la composante de la force extérieure suivant le plan tangent à la splière, composante dirigée suivant la tangenle au grand cercle qui joint le mobile au poiiit central A; où aura, d'après le principe des forces vives, et en regardant la composante R comme positive cpiand elle tend à rapprocher le mobile du point central,

^/..•^r=±:2RcosV.^/S = — 2R.r/p,

De là, en dilTérenliant réqualion (IV), en sul)sliluant <i

supprimant le facleiu- commun — ^77'

(jue l'on penl écrire (V)

|sin'p sin'p a Y A

crire

sin- p |tang 0 d-^- J

Les formules qui correspondent au problème analogue dans îe plan sont, comme on sait,

km -^?[;^#]

Applicalions.

122. Première application : au pendule spJiérique. Si l'on suppose Xa. force extérieure constante^ en grandeur et en directioîi, on retombe sur le problème du pendule splié-

rique; et les formules précédentes, dans lesquelles on doit icniplacei' G par g et y par 7: — p, deviennent, par ces substitutions,

èinp sin p. sin V

sin p . dp

d.smp g.sm^^p

(Z) N = ^ + -cosp;

on en déduit aisément les équations ordinaires, représentant la trajectoire décrite par l'extrémité du pendule et les circonstances principales de son mouvement.

En effet, l'intégration de l'équation (Y) ou, plus simplement encore, la comparaison de la formule (X) à la formule ordinaire

p- =:«'„- + 2^(3 — Zo)-= 2,g (cosp -]' /i — COSpo;}

donne d'atord

(i) biu'/>'(cosp ■+■ h — cospo) =^ —5

(1') sia^p(cosp -+■ h — cos Pu).sin^y = —

On a d'ailleurs

drj sin 0 . ^ sin û tangV=smp : -tY= — ~-, sinV — —

V p Vp ■-!- sin'-'p

et si, portant cette valeur dans (1'), on résout par rapport à p', il vient

i / sin^pl

i ( cos p -t- A — ces Po)