C- = ï'J sin- Pu sin' Vo = 0!.gh sin^ Oj sin' Vu, d'où

(I, ) — = /i sin'po . sin-' V» = A ( i — z;) sin^ V».

Enfin, Ton tire successivement de l'équation (X) r/,y C

«-/^ sin p. sin V

1 . , . ,, I . . ,, f/^.sin-'p (i — z^)^/i|; = - sm p . r/^ sin V =r - sin p . sin p <-/-J/ = ■ — - = 5

dont la comparaison à la relation (Xj) conduit à celle autre formule

Quant à la pression, la formule (Z) devient, dans noire nouvelle nolation,

(X,) N^ll + g^;

et les formules (Xi), (X2), (X3) sont identiques à celles que l'on obtient par l'emploi de la méthode analytique ordinaire.

123. Les formules (X) et (Y) mettent en outre en évidence der, analogies remaicpiablcs, et non encore observées, entre le

202 SECOJVDE PAUTIE. CHAPITRE DIXIEME.

inouvemont de rexlrcmllé du pendule spliérlquc cl le mouvement plan d'un point matériel attiré par un centre fixe proportionnellement à la distance.

On sait, en effet, ctc'estun des premiers tliéorèmes découverts par Newton sur les forces centrales, que la 'vitesse en un point quelconque de la IrajecLoire elliplitjue plane est inversement proportionnelle à la distance du centre attirant à la tangente en ce point ^ le rayon de courbure de l'ellipse en ce point étant en raison, inverse du cuhe de la même distance : et il résulte de nos formules que dans le mouvement sphérique considéré, la vitesse en chaque point est encore inversement proportionnelle au sinus de la distance sphérique du ])oi>it central A de la sphère à Varc de grand cercle tangent à la trajectoire en ce point, le rayon de courbure géodésique de la trajectoire étante de même, en raison inverse du cube du même sinus.

On aperçoit aisément d'ailleurs la cause première, l'origine de ces analogies; car, dans le mouvement sphérique, la com- ])Osante de la gravité suivant le plan tangent à la. sphère est, en chaque point, dirigée suivant la langen-le à l'arc de grand cercle mk qui joint ce point au point central A, et la grandeur de cette composante est proportionnelle au sinus du même arc.

Les analogies des deux mouvements, assez intimes comme on le voit, s'arrêtent cependant aux trajectoires elles-mêmes 5 cL la courbe décrite par l'extrémité du pendule n'est pas une ellipse sphérique (^?o//•p. 2o5 la cinquième application).

124. Les formules (X) et (Y) permettent encore de déterminer d'une manière très-simple quelles doivent être les circonstances initiales du mouvement pour que la trajectoire décrite par V extrémité du penrlule soit un petit cercle de la splière ; sans ajouter, comme on le fait ordinairement, cette restriction inutile que le petit cercle soit horizontal.

Pour que la trajectoire, en effet, soit un petit cercle, il faut et il suffit que son rayon de courbure géodésique soit constant; ou, d'après la formule (Y), que l'arc p demeure constant. Mais on voit immédiatement dès lors, que les arts ]> et p coïncident,