DU MOUVEMENT STJU LA SPHÈRE
et que le petit cercle considéré est nécessairement liori/onlal : en même temps les formules (X) et (Y), dans lesquelles on remplace i\ par tangp et /7 par p, deviennent
C'' ^^ sin« p
sni- p cosp
d'où
sin'p
^ COSp
I! en résnlte que la vitesse est constante; et, en particulier, ([ue la grandeur de la vitesse initiale.est définie par la relation
/ ', -, sin'po ? — Z.I
^ COS po ^0
cette vitesse étant d'ailleurs dirigée suivant la tangente au petit cercle, et étant dès lors perpendiculaire au plan vertical du point de départ,
125. Seconde application. La formule (1 ), dans laquelle on remplacera le nombre constant g par le nombre indéterminé G, peut servir, en particulier, à déterminer la loi générale des forces parallèles capables de produire un inom'ement circulaire.
Si l'on regarde, en elfet, r^ comme constant dans cette formule, on en déduit
sm p
pour expression de la fîorce en cliaque point de la trajectoire circulaire, C désignant une constante : et l'on voit que si la force G est constante, il en est de même de p, et le cercle décrit par le mobile est horizontal ; tandis que si la force est variable, il en sera de môme de /?, et la trajectoire du mobile sera un petit cercle quelconque de la sphère.
Si, au lieu de considérer la valeur absolue de la force, on a seulement égard à sa composante utde Gsinp, on déduit, de la formule précédente,
(•*■ J ) G= Il sui p = -7— 7— ~,
sm-p . sni' V
pour expiessioji de cette composante : et cette foniiule est ai)alogue à la formule comme
r- sm^V
qui définit la loi des forces centrales capables de produire, dans le plan, le mouvement circulaire d'un mobile.
i!26. Troisième application. Proposons-uous de déterminer la loi des forces parallela G, capables de faire parcourir au mobile une ellipse sphériquc ayant le pôle A pour l'un de ses foyers.
Nous avons trouvé, pour le ravon de courbure géodésique de l'ellipse spliérique rapportée à Fuu de ses foyers A [voir p. 45, formule 1 1),
__ 2 siu ^z + 7) sin (cz — 7) i /■
" sinaa sin'V sin^V
A désignant une constante; et la comparaison de celte valeur à la suivante
" Gsm/^ Gsiri'o . siti^V
déduite de la foimule (Y) en y remjdaçani g pai' l'indélerminée Ci, donne, pour expiession de la force cherchée,
ou
/ sin'p
C=sin2a
2 sin
^y. + 7)sin(a — 7)
sin'p sin^js
et
Gsin.= .^' :
SUlVy
C désignant une nouvelle constante.
127. Quai/ième application. Demandons-nous encore; quelle est la loi des forces parallèles, cajuibles de faire par-
nu MOUVEMEJVT SCK. LA SPHERE. 20.)
courir ou mobile une Joxodionnc sphérique ayant pour pôle le point. A ?
Nous pourrons encore, pour résoudre le problème le plus sinipl(>menl possible, eniplover la fornuile (ij) de la page 47i
tangp sinp
' sinV sin V . ces o
qui tlonne le rayon de courbure géodcsique de la loxodromie sphérique; et sa comparaison avec la formule (\ ) nous donnera
C' sinp
G sin-' p . sin' V sin V . cosp
Delà, en remarquant cpie \ est ici une constante,
sm'V sin'p sui'p
et
(xA G sm [j -— — ; •
^ ' ' sm'p
128. Cinquième application. Déterminer la loi des forces parallèles capables de faire parcourir auniobile une ellipse sj)lièri(pie ayant pour centre le jwinf A.
La comparaison de la formule (\ ),
" G. sin/?
à la formule (lo) de la page 44,
COS^ p
sm'/j
qui exprime le rayon de courbure géodésique d'une ellipse sphérique rapportée à son centre, donne immédiatement, pour la force G capable du mouvement dont il s'agit,
et
^ . C- sin 0 Ix'.) G sin p = -— '
On a (l'ailleiirs, pour la pression exercée par le mobile sur 1; surface,
ÎN = h Cx cos 0 — i . ^ ,
T ' Sin/; a' a- cos-o
^ / i I-+- tang=o\
\sin'/.> a- b- j
el si Ton remplace dans le second membre -: par sa valeui-
tirée de Téqualion (C), page 4{ 5 il vient i-|-fang-p\
rt'6=+n-'+/;- — tanu-p i-|-fany-p\ ^ ! -t-fl--|-^- + '?■/''
[t\ >* = C-.- — ■ ■-\- =i -. — - = constante.
a- b- sin' a.sin-fi
Il résulte, de la proposition 8 du livre des Principes^ que V ellipse plane peut ê.'re décrite par un mobile soumis à une force attractive, perpendiculaire à l'axe de V ellipse, et inversement proportionnelle au cube de la distance à l'axe. Et il résulte de même des formules précédentes que l'ellipse spliérique peut être décrite par un mobile sollicité par une force répulsive, perpendiculaire au plan du grand cercle qui a pour pôle le centre de l'ellipse, et inversement proportionnelle au cube de sa distance à ce plan; la réaction exercée par la sphère sur'le mobile étant d' ailleurs constante.
Remarque I . L ellipse plane, considérée comme section du cône, peut être placée sur le cylindre; et il en est de même de l'ellipse spliérique : car cette courbe élant, par définition, l'intersection d un cône de second degré et dune sphère concentriques,
