o8 SFXOJVDE PARTIE. — CHAPITRE DIXIEME

plan des xz est encore une ellipse plane si «^ ^, el cette projection peut être considérée tomme la trajectoire d'un mobile qui serait soumis premièrement^ à une force attractive K', émanant du centre deTellipse et proportionnelle à la dislance; secondement , à une force répulsive G'=G, dirigée perpendiculairement à l'axe horizontal de l'ellipse et inversement proportionnelle au cube de la dis lance à cet axe. D'ailleurs l'ellipse entière n'est que la trajectoire théorique du mobile, la trajectoire réellement parcourue se réduisant à un arc déterminé de cette ellipse, intérieur à la sphère, et limité par une corde parallèle à 1 axe horizontal. Le mobile oscille donc indéfiniment dans cet arc, sa vitesse devenant nulle à chacune de ses extrémités, et la durée d'une double oscillation étant définie parla formule {/). Enfin les oscillations dans deux arcs déterminés, appartenant à deux ellipses distinctes, seront isochrones toutes les fois que les forces centrales, qui concourent aux mouvements oscillatoires produits le long de ces arcs, auront la même valeur à une même distance du centre. Ces résultats ont quelque analogie avec le fait, observé par Lagrange et Legendre, et expliqué d'une manière générale par M, O. Bonnet, de la conservation de la trajectoire dans la superposition de diverses forces capables, isolément , d'une même trajectoire [Journal de Mathématiques, i844î tome IX, page ii3).

129. Scolir. Les formules précédeiUes, qui donnent la loi des forces capables de faire parcourir au mobile un petit cercle, une loxodromie ou une ellipse sphérique, présentent une intime analogie avec les formules correspondantes, relatives au mouvement plan d'un point malériel soumis à l'action d'une force centrale. Il convient néanmoins, pour la faire ressortir d'une manière plus complète, de n'avoir égard, dans les formules relatives au mouvement sphérique, qu'à la composante utile GsiiijO de la force extérieure, et non à la valeur absolue G de cette lorce.

ou MOTJVEMEJNT SUR UNK SUBFACE DE RÉVOLUTION. 209

Du niouueniefit d'un point sur une surface de révolution.

130. On a.^ pour l'angle de contingence géodési(|ue e„ d'une ligue quelconque tracée sur une surface de révolution [voir page 122, formule 33 his),

/ sinV dr

' ^ \ cosV /•

V désignant l'inclinaison de cette ligne, au point considéré, sur la section méridienne passant par ce point, et / le rayon du parallèle correspondant.

Si donc on suppose que la ligne considérée soit la trajectoire d'un mobile soumis à la réaction normale de la surface et à une force extérieure constamment dirigée dans le plan de la section méridienne, la projection de cette force sur le plan tangent sera toujours dirigée suivant la tangente à la section méridienne 5 la lettre V aura la même signification dans l'équation précédente et dans les formules générales (I), (II) et (TU) delà page i86 : et l'on aura, en remplaçant dans la première de ces formules e^ par sa valeur,

l — 5 — = — i / — = — L / sin V ;

J tang V J tang V J r

et, par suite,

C désignant une constante. La formule (II) deviendra alors

(II") '>~ Gsinv.sinV ~ G sinv .r'sin^ V '

et l'on aura toujours, pour la pression.

;ill") N = -— Gcosy.

131 . Sans nous arrùler à la discussion du signe — qui tiguic au second membre de la formule (A), proposons-nous de délei'miner directement l'expression de la .vitesse.

Nous rcmarqueions, à cetelîet, que, par suite de riivpolhèse

sur la direction de la force extérieure, le mobile peut être

considéré comme se mouvant librement dans l'espace, sous

raclion d'une force imique rencontrant constamment l'axe oz

de la surface : il en résulte que la projection du mobile sur un

plan perpendiculaire à l'axe décrit des aires proportionnelles

aux temps ; et Ton a

/■^ doi = C (It,

i\ désignant une constante. On a, d'ailleurs,

cl s = (' . tk ;

et Ton déduit, de la combinaison de ces deux relations,

CGC

f/w rdfji r sin V

On voit que celte foriîiule renferme celle que nous avons dt-jà donnée sur le mouvement spliérique d'un point matériel ; et qu'elle est comprise elle-même dans l'observation de Newton, qui a été rappelée au commencement de ce chapitre.

i32. ylpplicaiions. Proposons-nous de déterminer quelles doivent être les circonstances initiales du mouvement,- pour que le mobile parcoure^ dans le cas ordinaire de la pesanteur^ un parallèle de la surface.

On aura, dans ce cas (voir fig. 53),

v=r-, /•= constante = /'o, /v =: -, et 7 = 7: — 1 :

/désignant l'angle aigu que fait avec l'axe la normale à la surface. On trouve, par la substitution de ces valeurs dans les équations (I) et (II),

''0 = ~ = constante, = , on ~ = J s;r

r ces/ y sin/ . r- r