Remarque I. L'équation précédente = constante

ne diOère que par la forme de celle donnée par M. Roger [Journal de Mathématiques , tome XIII, 1848, page 49)1

/•' — = A.p% dt

])our le cas ordinaire de la pesanteur.

Dans le cas de la sphère, et en posant r = sinp, l'équation peut s'écrire

(X,) . c = C.sinp sin V = C.sin/y.

On en déduit celte généralisation d'un théorème d'Euler : La 'Vitesse, en chaque point d'une brachistochrone sphérique, est. directement proportionnelle au sinus de la distance sphérique du centre des forces O de la sphère à l'arc de grand cercle langent à la courbe au. point considéré.

Remarque II. On déduit, de l'équation (X,),

(') ch'=Cd.-,mp.

On a d'ailleurs, dans le cas ordinaire de la pesanteur^

d . f'= ou 2 f . f/c =: 2 ^^ sin p ces V . ils ,

(2) ('.r/(>= — g-sinp.r/p.

De là, en divisant (2) par (i), membre à membre, el renq)la-

.1 I ' • 'I sinp.''/p , I

raul dans I e<|ualion lesultanle -r—^^ — - par le ravon de < our- ' (l sin/; '

T)E LA BllACHISTOCHRONE. 219

bure géodésique r „ = — de la trajectoire, il vient

k désignant une constante. Or, si Ton remplace dans celte lormule p* par — et i'^ par — ? e„ désignant J angle de contingence géodésique de la tiajecioire, il vient, en simplUiant,

et roii en déduit

{.t\) ^^— £ = /• = constante ;

c'est-à-dire que /e temps T, employé par le mobile à parcourir un arc partiel quelconque A'B' de la brachistochrone s/?/iérique, est proportionnel à la valeur de l'intégrale fe„^ on

— 1 prise de l'origine à l'extrémité de l'arc A'B'. Mais on

trouve aisément que cette intégrale représente l'aire spbéiique comprise entre l'arc A'B' et les tangentes sphériques menées par ses extrémités, augmentée de l'angle extérieur formé par ces mêmes tangentes : donc, dans le mouvement général sur une brachistochrone sphérique AMB d'un point soumis à la pesanteur, le temps, employé par le mobile à parcourir un arc partiel quelconque A'B' de sa trajectoire, est proportionnel à l'aire sphérique, comprise entre cet arc et les tangentes sphériques menées par ses extrémités , augmentée de l'angle extérieur de ces mêmes tangentes ; ou, encore, ]>roportionnel à Tare correspondant a'b' de la courbe supplémentaire.

Remarque 111. Quant à la nature de la brachistochrone, la comparaison des formules (Xj) et (X,) fournit cette relation,

-r-^— = constante, ou — 5 ^::: constante; sin/j ros /

/désignant l'angle sous lequel le grand cerele tangent à la brachistochrone spliéiiquc coupe l'équateur, ou le cercle polaire du centre des forces O; et Ton sait que, dans le plan, le rayon de courbure de la cycloïde est pareillement proportionnel au cosinus de l'angle que fait la langente avec labase de la courbe. Remarque IV. L énoncé précédent se simplifie, (|uand on suppose que le rayon de la sphère augmente indéfiniment; et l'on en déduit ces propriétés nouvelles des brachistochrones planes, que l'on pevit d'ailleurs établir directement de la même manière :

1. Si l'on circonscrit à une demi-cycloïde AMB une portion de ligne polygonale régulière , c'est-à-dire à angles égaux, dont les tangentes en A cl h formeront les côtés extrêmes; les points de contact des côtés successifs de ce polygone partageront la demi-cycloïde en une suite d'arcs isoclirones, c'est-à-dire en une suite d'arcs partiels qui seront parcourus en des temps égaux, dans le mouvement général du mobile de A en B.

2. La même ]>roprié.té s'applique à la brachistochrotie relative à un centre O, situé à une dislatice finie, et attirant proportionnellement à la distance.

3. Enfin, celte propriété subsiste encore pour la portion de ligne polygonale régulière circonscrite à un arc partiel quelconque A'B' de la bracliislochrone ; les côtés extrêmes de cette ligne étant toujours formes par les tangentes aux extrémités de l'arc considéré A'B', et le mouvement suivant \' W faisant toujours partie du mouvement général suivant la ligne totale AMB.

Remarque V . Si Ion considère, au lieu d'une sphère, une surface de révolution quelconque, le temps employé par le mobile à parcourir un arc déterminé de la brachislochrone n'est plus susceptible, en général, d'une représentation géométrique simple. Si l'on dilïérentic en effet la formule (X). «' = C . /sin ^ , on a d'abord

(i) r/(':=:C.^(/-sinV);