CHAPITRE KL

I>ES LIGNES A DOUBLE COLRBLRE CONSIDÉRÉES COMME FIGURES d'équilibre d'un fil qui REPOSE SUR UNE SURFACE.

Parmi les problèmes dont la solulion était réservée à l'analyse moderne, et en exceptant les grandes questions de la mécanique céleste, il en est peu qui aient été remaniés aussi souvent que celui dont l'objet est de déterminer la figure d'équilibre d'un fil, dont les extrémités sont fixes, et dont les éléments successifs sont sollicités par des forces qui demeurent constantes, ou qui varient suivant une loi donnée. Sans parler eu eiïet de l'illustre promoteur de ce problème, on voit figurer dans son histoire les noms des plus grands géomètres du dernier siècle et de la fia du précédent : les Bernoulli , Lcibnilz et Huygens. Euler, Clairaut et Lagrange. On lit même dans la notice sur Ampère {x^rago, OEuures^ tome II, page 47) qiie ce géomètre, s'occupant à son tour de la question, avait su découvrir des lacunes dans un sujet pourtant si exploré.

On doit ajouter cependant que les solutions de ce problème, si nombreuses quand on suppose le fil libre et la figure d'équilibre plane, deviennent beaucoup plus rares quand il s'agit d'un fil reposant sur une surface; car, en exceptant le problème devenu classique de la chainetle cylindrique, on possède seulement pour ce cas des formules, très-générales sans doute, mais dont l'application à telle surface particulière que l'on voudrait envisager exigerait peut-être, pour l'interprétation géométrique des résultats obtenus, plus d'elforts que l'étude directe et géométrique du problème.

C'est cette étude directe que nous avons abordée, et dont nous avons essayé de poser les véritables bases. Nous croyons les avoir reiKontrées dans deux théorèmes.

ÉQUILIBRE d'un FIL SUR UKE SURFACE. 22,3

Le premier est analogue à celui d'Huygens sur le mouvement curviligne d'un point matériel, et donne, pour les composantes tangentielle et normale de la force totale qui sollicite le fil en chaque point, ces deux expressions,

— rlT T

— — et -; as r

T, fis et /'désignant la tension, l'arc élémentaire et le rayon de courbure du fil : résultais (|ui ont sans ('ouïe été rencontrés âîjh.

i.e second, ([ue nous avons déduit du premier, nous païaît absolument nouveau. Il fournit :

1°. La tension du fil, par une intégrale dont les éléments dépendent seulement de la direction vclativc. de la force extérieure et de la figure d'équilibre du fil ;

2°. Cette intégration étant eilectuée, l'expression du rayon de courbure géodésique du fil^

3". L'expression entièrement géométrique de la pression exercée par le fil sur chaque point de la suiface, à savoir

T 1N = -— Geosv;

(jcosy et R désignant la composante normale à la surface de la force extérieure, et le rayon de courbure de la ligne géodésique tangente au Cl au point considéié. C'est par l'exposition de ces deux théorèmes généraux que nous allons commencer.

Principes généraux relatifs aux courbes funiculaires reposant sur une surj'ace quelconque.

137. Théorème L Diins toute courbe junicnlaire, plane ou à double courbure., mais entièrement libre dans ï espace [abstraction faite de ses extrémités qui sont toujours supposées fixes)., les composantes tangentielle et normale de la force totale P^, rapportée ci V unité de longueur du fil, qui

agit en chaque point de la courbe, ont pour valeurs resncctii'es

— clT T

T, ds et r désignant la tension, l'arc élémentaire et le rayon de courbure du fil ; et dT désignant la variation, positive ou négative, qu éprouve cette tension, de V origine à V extrémité de Varc ds. La première de ces composantes est d'ailleurs positive, ou négative, suivant qu'elle est dirigée de l'origine à l'extrémité de Tare ds, ou de Texlrémilé à lorigine: et la seconde, qui est toujours dirigée suivant le prolongement du rayon de courbure du fil, est regardée comme essentiellement positive.

Démonstration. L'élément AI3 = ds du fil, considéré isolément et supposé solidifié, doit être en équilibre sous l'action des tensions, de sens opposés^ T etT H- r/l", dirigées suivant les tangentes à ses extrémités, et des forces partielles qui agissent en cbacun des points de 1 arc AB. Or, les deux premières forces, dirigées suivant deux droites dont la distance est un infiniment petit du troisième ordre, peuvent être considérées comme situées dans le même plan et comme ayant dès lors ime résultante unique; les forces partielles agissant en chacun des points de l'arc AB auront donc aussi une résultante unique, que nous représenterons comme à l'ordinaire parP.r/5, et qui f(M^a équilibre aux deux premières forces T etTH-r/T.

Il résulte d'abord de là que la force totale P est dirigée, en

cliaque point, dans le plan osculateur du fil: ensuite, que la

Fig. 56. somme algébrique des projections

des trois forces, sur la tangente en

A dirigée dans le sens AB, ou sur

le prolongement extérieur du rayon

de courbtire du fil en A, est égale à

zéro pour chacune de ces directions.

On en déduit, eu négligeant les infiniment petits du second