EQUILIBRE I) I!N FIL ST'R UNE SURFACE
ordre, et eu désignant par e l'angle de contingence du fil,
— Ï + (T 4-^T) -f-P f/.v.cos(P, ^*) = o,
(A) P ros(P, ds) = — — ;
— (T ^-rfT)sinr-t- P. ^/5.cos(P, r) = o, OU
(B) Pcos(P, /•) = -•
Observation. La dernière de ces relations a lieu entre des grandeurs absolues : quant à la première, et pour donner à dT le signe (jui lui convient, il peut être utile de remarcjuer que la 'Variation de tension du fil^ dans le passage de V origine à V extrémité de Varc ds, est égale et de signe contraire au travail élémentaire de la force P dans le trajet fictif cor^ respondant.
138. Théorème II. Une courbe funiculaire étant en équilibre sur une surface donnée, sous V influence des réactions normales N de la surface et des forces extérieures G, appliquées en chacun de ses points : \° la composante de la force extérieure G suivant Varc élémentaire ds de la courbe est
mesurée parle rapport différentiel - — - — \ 2" la composante
de cette même force suivant celle des normales à la courbe qui est tangente à la surface.^ a pour expression, en chaque
point, —5
que de la courbe funiculaire en ce point; 3" enfin, la réaction exercée par la surface sur le fil est mesurée^ en
chaque point, par la différence algébrique — — Gcosy 5 R et
Gcosy désignant le rayon de courbure de la ligne géodésique tangente au fd, et la composante, normale à In surface, de la force extérieure qui agit au point considéré : la force
22C) SECOADE TAUTIE. CHAPITI'.E OAZlÉME.
exlérieure G et la pression Ps étant rapportées, Tiine et l'anlic, à l'unité de longueur du fil.
Dénionstralion. La courbe funiculaire considérée peut être regardée comme entièrement libre dans l'espace et comme soumise, en cliacun de ces points, à la force extérieure G et à la réaction normale Ps de la surface, dont le système, d'aprè-i le théorème précédent, est équivaJeut au système des composantes tangentielle et normale, — - — et - de la force loiale. Il ^ cis r
en résulte que la somme des composantes des forces du premier système, sur une direclioii quelconque, est pareillement équivalente à la somme des composantes des forces du second système sur la même direction.
Cela posé, si l'on prend successivement, pour direction de projection, l'Ma tangente à la courbe fnniculaire 5 2° celle des normales à cette courbe qui est située dans le plan tangent à la surface, Aiil ^ 3" la normale intérieure à la surface, AjN : on verra :
Dans le premier cas, que la somme des composantes des forces du premier système se réduisant à la composante Gsinv.cosV de la force extérieure, et la somme analogue pour
le second système à la conq:)osante
dT
ds
\ G sin'/ .ros V r:^ — :
Dans le second cas, que la première somme se réduit encore
à la composante de la force G. qui est
représentée par Gsiny.sinV, V désignant
l'inclinaison, sur la tangente à la couibe
funiculaire, de la projection de la force G
sur le plan tangent; que la seconde somme
se réduit à îa projection de la com-
posante -1 projection nui est égaie a
a désignant 1 angle du plan oscula-
