ÉQUILIBRE D UN FIL SUR UNE SURFACE. 11'J

teur de la courbe et du plan tangent à la surface : et que Ton a, par suite,

(2) G siny .smV = — •,

Dans le troisième cas enfin, que la première somme est égale à N H-Gcosy, la seconde se réduisant à

- ros 0)0° — (7 ) = - sm /7 = : =: - 5

/• •' r r:sin« R

d'après le théorème de Meunier: de sorte que l'on a

3) N ^^ — GcosY

pour la réaction de la surface sur le fil : cette réaction étant d'ailleurs rapportée à l'unité de longueur du fil.

La lettre y désignant l'angle, aigu ou obtus, formé par la direction de la force G avec la normale intérieure : pour que la formule (3) subsiste telle que nous l'avons écrite, il faut, que le rayon de courbure r du fil fasse un angle aigu auec la normale intérieure , le fil reposant lui-même sur le bord interne de la surface.

Corollaire. Si l'on désigne par V, comme on l'a déjà dit, l'angle formé par la projection Gsiny de la force extérieure sur le plan tangent, avec la tangente de la courbe funiculaire, et par e^, l'angle de contingence géodésique de cette dernière, on aura ces trois formules générales :

ciT cosV (is

(II

T sinV /•„ tang.V , J tang V .

= G sin7.sin Vj

( '' ~ Gsinv.sinV '

(III) N = ^ — Gcosy:

les deux tk-rnières irétam au Ire chose que les formules (2) el (3), et la preniièie résultant de la division membre à membre des formules (i) el (2).

Eniin rélimination de l'angle y entre les équations (II) cl (III) conduit à cette relation :

/ T \- /T ^ ' \/VsmV /

Nous n'insisierons pas sur le rôle général de ces formules qui présentent, comme on voit, la plus grande analogie avec celles qui définissent le mouvement d'un point sur une surface ( voir page 1 86') ; et pour lesquelles on peut répéter exai temen i ce qui a été dit déjà pour les premières.

Observation. Il est essentiel de remarquer que l'intégrale

— / ' ' , qui figure en exposant dans la formule (I), cl

dans laquelle on regardera e^ comme essentiellement positij^ et langV comme positive., ou négative, suivant que V angle \ sera aigu ou ohtus, a bien reçu le signe qui convient à l'expression de la tension. On déduit en elfet, de cette formule,

dj —

tanif V

Or T et e^, étant positifs, on voit que la différentielle r/T sera positive, ou négative, suivant que l'angle V sera obtus, ou aigu-, el c'est ce qui doit être en effet : puisque, d'après une observation antérieure (voyez page 225), dT est mesurée par le travail élémentaire correspondant de la force, changé de signe 5 et que, ce travail se réduisant à celui de la composante Gsiiiy qui fait un angle V avec la direction de l'élémenl du fil, ce travail changé de signe est positif, ou négatif, suivant que l'angle \' est obtus, ou aigu.