SU
Des courbes funiculaires dans le plan.
139. Si l'on remplace dans les Ibrmulcs précédentes e,, par e'.
COVIHBES riUNlCLiLAlIlES VLÂWES. 2ig
r„ [)ai' p, el si 1 on pose y = -î tl viciil
(2) GpsinV=:T,
<,' cLaut pris en valeui- absolne dans la prcniièie formule, et lang V y recevant le signe qui convient à la nature de l'angle formé par la direction de la force avec la dii-ection de l'élément considéré.
1 iO. Cas des Jorces parallèles. Si Ton remarque que la < ourbe funiculaire tourne toujours sa convexité vers la région cù tendent les forces, on trouvera aisément e'= d\ pour la valeur absolue de l'angle de contingence; et Ion en déduira les formules suivantes :
smV [b) Gpsin^V=C,-
auxquelles on peut joindre celle-ci :
'(> 'If
cosV.c^V f/.sinV
Applications. 1). Si l'on suppose la gi'avité coiisLanlc, on tiouve immédiatement, ou par une première intégration, les })ropriétés de la chaînette exprimées par les équations
p sin-V = constante, y sin V = constante.
2). Si r on veut supposer le poids de chaque élément proportionnel à la longueur de sa projection horizontale^ on devra poser
dx G . ds =: g . dx ou G = g — = g sin V .
La iormule [b] devient alors
^ ~ sin'V
23o SECOJNDE PARTIE. CHAPITRE ONZIÈME.
uni , comparée à la formule générale o ■= ■ . . , ■ , donne immé-
(iiatement
y" = constante ,
équation d'une parabole.
3). Si l'on clierche quelle doit être la loi fies forces parallèles pour que la courbe funiculaire soit une ellipse dont Van des axes soit vertical, on devra remplacer, dans la formule (^),
0 par A . -, y désienant l'ordonnée de l'ellipse comptée à
' ^ sm^V ^ ^
partir de son axe horizontal \ et Ton aura C'.sinV
sinV
si l'ellipse devient un cercle, devient constant, et l'on a
simplement
Scolie. Si l'on compare la formule [b), que l'on peut écrire
à la formule, déduite du théorème d'Huygens,
G' sin^ V
et fournissaut le rayon de courbure de la trajectoire d'un point matériel soumis à l'action d'une force G' de direction constante, on est conduit à une sorte de loi de dualité en mécanique, analogue à la loi de dualité en géométrie, et qui peut, par cette analogie même, olïrir un certain intérêt.
Que l'on regarde, en effet, une même courbe plane comme étant simultanément la trajectoire d'un point matériel et la courbe d'équilibre d'un fil \ les forces qui produisent le mouvement, et celles qui maintiennent l'équilibre, étant d'ailleurs
COUUBES lUlNIOULAlRES PLAJNES. U.[\ l
parallèles à une mùine droite fixe, cule sens coiUraiios : on aura, en égalant les valeurs [h) et [b') du rayon de courbure de la ligne considérée,
G =: / .G'siuV.
Il en résulte que lajorce ij, nécessaire pour produire t' équilibre cVuii fil sui\^ant une courbe plane donnée^ est égale à la force G nécessaire pour entretenir le mouvement (V un point matériel suivant celle même courbe, multipliée, en chaque ])oiat, parle sinus de l'inclinaison de la commune direction des forces sur la tangente à la courbe, et par un nondire constant^ la vitesse du mobile et la tension du fil en un même point de la courbe étant d'ailleurs dans un rapport constant. Comme première application de ce théorème, considérons une parabole ayant son axe vertical -, et regardons celte courbe comme la trajectoire d'un point matériel soumis à l'action de la pesanteur, ou aura
dans la formule précédente; et la parabole considérée pourra être regardée comme étant la fîguie d'éc[uilibre d'un fîl sollicité en chaque point par une force verticale G, dirigée de bas en haut, et ayant pour expression
'fx G — /. . ^ sin V ( u G = /- . i' . — :
"" -^ ils
d'où
G fis :rr k'dr.
La force agissant sur cha(jue élément du fil est donc proporiioniselle à la projection horizontale de cet élément; et l'on letrouveles résultats connus, relatifs à la courbe des ponts suspendus.
Considérons encore, et « omme application inverse du même ihéorème, une chaînette ayant son axe vertical ; et regardons-la connue la iiguie d'équilil)re d uj) iil soumis à l'aclion de la pesanleu! . ()n auia, dans la même forjuule.
et la chaînette considérée pourra être regardée comme la trajectoire d'un point soumis à l'action d'une force verticale G', dirigée de bas en haut, et ayant pour expression
sinV
Mais l'ordonnée de la chaînette, comptée à partir d'un axe horizontal convenablement choisi , est liée à l'angle V par la relation connue jsinV = constante ; on aura donc simplement
pour expression de la force ; et Ton en conclut une autre propriété mécanique de celte courbe, par laquelle la chaînette est la trajectoire d'un point matériel soumis à T action d^une force ^ proportionnelle à la dis lance du mobile à un axe fixe, et dirigée en sens inverse de la droite qui mesure cette distance.
intérieurs du quadrilatère concave AIBO étant égale à quatre droits, on a
^0 +V + (2<^'-}- <?') + ( 2^'- — V — rfV) = 4''^ ou c'=dN~cl^; Fig. 58.
on a
d'ailleurs
tangV=±
que '.
'on doit écrire
tangV=-
puisque l'angle V est obtus
et que la dilYérenlielle dr est positive dans la figure.
Il en résulte
■ dr dd =z tangV;
COURBES FUJiilCULAlUES PLANES. 233
et l'on a défiiiiiivetuenl pour e',
dY -+ — tangV.
On en déduit
r e' r dY Cdr ^ . ^^ jtan
J tanj; V J tang Y J r
et Ton a par conséquent ces formules :
/ sin V
rsinV p
[h') G.p.r.sin'V = C,
auxquelles on peut joindre la formule d'Euler
rdr ('^^ ^=-^-
applications, i). On satisfait à l'équation [h') en posant
p = constante, et
(i) Grsin^V = constante.
On en déduit que, la courbe funiculaire étant une circonférence de cercle, la force en chaque point est inversement proportionnelle au produit du rayon vecteur par le carré de la corde que ce rayon prolongé détermine dans la circonférence.
2). Si l'on veut que la courbe funiculaire soit une ellipse ayant pour centre le centre des forces, il faudra poser
^'' __ ^'' ' p^ r^sin^V
dans la formule (^), qui donnera, pour expression de la force répulsive émanant du centre,
G = C. r^sinV ou
3). Oii \ errait de même que, la courbe funiculaire élanl une ellipse dont Van des foyers coïnciderait ai'cc le centre des forces, la grandeur de la force répulsive émanant du foyer :erait, en chaque j)oinf,
eu remplaçant dans la formule [b') p par ia valeur p = /. — , qui correspond à l'hypollièse actuelle.
4). Supposons la courbe d'équilibre telle, que l'aiii^le V soit constant : cette courbe sera une spirale logarithmique, el l'on aura, d'après la formule [b'),
G = G ^ il ^ £',
C et C" désignant de nouvelles ( onstantes, et la seconde se rapportant à la substitution au rayon de courbure p du rayon vecteur r qui lui est proportionnel; on peut l'écrire encore
14-2. Les formules (2), (3), (4) conduisent par induction à la loi suivante, qui est, en cHet, générale : U/ie même ligne plane étant à la fois la trajectoire cVun point matériel, et la figure d'équdibre d'un fil, sounns à V action de forces émanant du même centre j la force agissant sur le fil, en chaque point de cette ligne, est égale au produit de la force qui sollicite le mobile, parvenu au même point, parla distance du centre commun des forces à la tangente en ce point, et par un nombre constant.
On a, en ell'et, d'après le tliéorènie d'Huygciis,
— =r G' sin V ;
et d'ajuès un lliéoiènie de jNevvton ,
COURBES FTJjNICtJLAlRES PLAKES. 235
u désignant la vitesse du mobile en un point quelconque de sa trajectoire, et G' la grandeur de la force centrale qui le sollicite en ce point. On en déduit
p . />' . sin V On tire d'ailleuis, delà formule (^'),
p. /-sm^ V ou
[cl) G =
