p . sin V ? • P^ ■ sin V

d'où, en comparant [d] et (<'/'),.

Et l'on doit remarquer, en outre, que les forces G étant altractiweSj les forces G' seront répulsives ; et réciproqueniciii.

143. Scolie. Les formules générales (i) et (2) {voirai. 229) peuvent encore s'appliquer avec avantage au cas où les forces sollicitant les divers éléments du fil ne sont ni parallèles, ni concourantes.

Ainsi, proposons-nous de déterminer la figure (V équilibre (Vu7i fil dont chaque élément serait sollicité par une force dont la grandeur, et V inclinaison sur cet élément, demeureraient constantes (O. Bonnet, Journal de Mathématiques, tome IX, page 225).

Les formules (i) et (2), dans lesquelles nous remplacerons

— par m, et --—. — par G, nous donneront

tangV ^ ' GsinV^ '

fe'

On en déduit

dp = ni . ç, c' = m . ds, ou

(6) da -j=: m.d.s.

236 SECONDE PARTIE. CHAPITUE OINZJÈME.

Celle égalilé exprime la pioporlionnalité des aies élémentaires correspondatits de la courbe funiculaire cherchée et de sa développée : ces deux courbes sont semblables ^ ei la courbe cherchée est une spirale logarithmique [voir page 39).

Des courbes Juniculaircs sur un cylindre quelconque.

144, Si 1 on suppose la projection de la force extérieure sur le plan tangent dirigée, en chaque point, suivant la génératrice correspondante du cylindre, V désignera, dans les formules générales (I), (II), (III) de la page 227, l'inclinaison de la courbe funiculaire sur celte génératrice.

On a d'ailleurs, pour l'angle de contingence et le rayon de courbure géodésique de la courbe funiculaire, ces valeurs :

c' elp' désignant l'angle de contingence et le rayon de courbure correspondants de la ligne plane suivant laquelle se transforme la courbe funiculaire considérée, par le développement du cylindre qui la contient : et les formules (I) et (II) deviennent, par ces substitutions,

T=C.e J'-'"ii\ Gsin7.p'sinV = T.

Or, ces équations sont identiques à celles qui définiraient la loi de la tension et la nature d'une courbe funiculaire plane dont chaque élément serait sollicité par une force, parallèle à la direction des génératrices du cylindre développé, et mesurée en chaque point par le nombre Gsiny [voir yiage 229) ; ei il résulte de là, en premier lieu, ce tliéorème général :

U/ie courbe funiculaire étant en équilibre sur un cylindre quelconque, sous l'influence des réactions normales de la surface et de certaines forces extérieures dont les projections sur le plan tangent sont dirigées, en chaque point, suivant la