COURBES FUNICULAIRES CYLINDRIQUES

gênéralrice du cylindre ,• si l'on suppose développés sur un plan, le cylindre et. la courbe funiculaire quil contient, et si l'on conçoit en outre que les forces extérieures primitives, estimées suivant les génératrices du cylindre, conservent dans ce développement leur direction et leur intensité : la courbe funiculaire transformée demeurera encore en équilibre sous l'influence de ces forces , et la. tension sera la même, aux mêmes points, sur la courbe primitive et sur la courbe transformée . En second lieu, et en transportant au cylindre les formules [a) et [b] relatives au plan (voir page 229), on aura

sinV

(2) Gsin7.r„sin2V=C.

Quant à la réaction, N = - — Gcosy = ^ . - — G cos 7 , ^ R ' RsmA'^ '

il suffit pour obtenir son expression définitive de remplacer R par

la valeur . ' „ ? p désiernant le rayon de courbure de la section sin- V "^ ^ -^

droite du cylindre au point considéré. On trouve ainsi :

(3) IN = -sinV — GC0S7 = — — — GC0S7,

145. Il résulte du théorème précédent que tout ce cpie l'on sait, pour le plan, sur les figures d'équilibre d'un fil soumis à des forces de direction constante, peut être transporté au

cylindre. Ainsi, en particulier, si l on suppose l'angle y = -

et la gravité constante, on retrouve d" abord ce résultat connu : In courbe tracée par le fil sur le cylindre a pour transformée une chaînette, dans le développement de la surface ( Vieille, Compléments d' Analyse et de Mécanique, page 202). On reconnait ensuite, par l'emploi de la formule (3), que la tension de la courbe, la pression quelle exerce sur la surface, et le rayon de courbure de la section droite du cylindre sont, en chaque point, les facteurs d'un produit constant : d'où

cette conséquence, que la pression est en raison inverse de la tension correspondante, quand le cylindre est de révolution (Vieille, ouvrage cité, p. 2o3).

On a, d'un autre côté, pour le rayon de première courbure Rj d'une ligne cylindrique quelconque, et en désignant par a. rinclinaison de son plan osculateur sur le plan tangent au ovliiidre,

^ ^ psin« sin-V^

R I p tang a

cos« sin=V^

ou enfin

r„sin-V = p. tangrt,

dont la comparaison avec la formule (2) qui devient, dans le

cas actuel ,

/•^sin-V=i constante,

conduit à la relation

(4) p. tang rt = constante.

Donc, en chaque point d'une chaînette cylindrique, le rayon de courbure de la section droite, multiplié par la tangente trigonoinétrique de Vinclinaison du. plan osculateur de la chaîne sur le plan tangent à la surface, dontie un produit constant. Et, en particulier, si le cylindre est de révolution, le plan osculateur de la chaîne fait avec le plan tangent un angle constant. On reconnaît aisément d'ailleurs que toute courbe cylindrique présentant celte propriété est une cliaînetie.

1 ii). Pour que la pression exercée par le fil sur la surface soit constante, quand on suppose le cylindre de révolution, et les forces extérieures dirigées suivant les génératrices, il faut,

d'après la double formule N =: -sinV = — - , que l'angle \'

demeure (onstant, ainsi que la tension : il en résulte que les

r.Ol KBES Fl'lVICUi Air.ES SUR LE COINE. 'ijC)

forces cxlc'iieures sont nuUq^, et que la courbe fuuiculaire est une hélice.