IV
Des courbes funiculaires sur un cône quelconque.
147. Supposant encore la projection de la force extérieure sur le plan tangent dirigée en chaque point suivant la génératrice correspondante du cône, nous pouvons, en répétant exactement ce qui a été déjà dit pour le cylindre, remplacer dans les formules (I) et (II) de la page 227, l'angle de contingence et le rayon de courbure géodésique de la courbe funiculaire conique considérée, par les grandeurs analogues relatives à la courbe plane, suivant la([uelle elle se transforme par le développement du cône. Nous obtiendrons ainsi les formules
T — Cc '^ '""^^ et (Gsin7)p.sinV = T,
V désignant cette fois l'inclinaison, sur la couibe funiculaire développée, du rayon vecteur issu du sommet du cône. Or ces formules, en ayant égard à la nouvelle signification de l'angle V, sont précisément celles qui définiraient la loi de la tension et la nature de la courbe d'équilibre d'un (il plan dont chaque élément serait sollicité par une force, émanant d'un centre fixe (le sommet du cône développé), et mesurée; par G sin y [j^oir les formules (i) et (2), page 229). On a donc ce second théorème : Une courbe funiculaire étant en équilibre sur un cône , sous Vinflucnce ries réactions normales de la surface et de certaines forces extérieures dont les projections sur le plan tangent., en chaque point ^ sont dirigées suivant la génératrice du cône j si l'on suppose déwelopj.'é'i sur un plan le cône et la courbe funicidaire qu'il contient, et si Ion conçoit en outre que les forces extérieures primitives, estimées suivant les génératrices du cône, conservent dans ce développement leur intensité et leur direction, de manière à concourir toujours au sommet du cô/ie dévelopjié : la courbe
funiculaire transformée demeurçra encore en équilibre sous r influence de ces forces ; et la tension sera la même, aux mêmes points^ sur la courbe prinn'tii'c et sur la courbe transformée.
En second lieu, et en transportant au cône les formules [a') et [b') [voir page 233), relatives au cas des forces concourantes dans le plan, on aura
(i') T-- . ^, (i') Gsin7./-„./-sin'V = C,
r désignant la distance d'un point quelconque de la courbe au
sommet du cône.
On an l à la pression, N = — — G cosy = r-~- — Gcosy,
^ ^ R ' R.rsmV '
il sullit, pour obtenir sa valeur définitive, de remplacer R par
sa valeur :
^/tangA
sin^V
( T'o/> page i35j,
A désignant le demi-angle au sommet du cône droit, os(;ulateur du proposé, le long de la génératrice considérée. On trouve ainsi
(3') N = C--^^^^^^^ Gcosv.
148. applications, i). Quelle doit être la loi des forces pour que la pression du fil sur la surface demeure constante, en supposant le cône de révolution ., et les forces extérieures dirigées suivant les génératrices ?
La formule (3') nous donne, dans ce cas,
[a] = constante , ou [n ) — =constante;
en développant le cône sni- un j>lan et tlésignant par/) la pei pcndiculaire abaissée du sommet-origine sur la tangente à la courbe funiculaire transformée. On a, d'ailleurs,
rd, C
/•„ uzr 0 m — - , OU r„ =:i — , " ' dp " r
COtUBKS FXJKICULÂIUES CYLINDRIQUES. 24 I
en utilisant la formule {a'). Et si l'on porte cette valeur dans
l'équation (.*'), il vient Cr = — - . , ,, ; ou, d'après la for-
mule (a),
pour expression de la force cherchée. On a pu voir d'ailleurs que la courbure, en chaque point de la courbure funiculaire transformée, est proportionnelle au rayon a<ecteur rie ce point.
2). Conservant Ihvpothèse précédeute sur la direction des forces et sur la nature du cône, cherchons encoi-e quelle doit être la loi des forces pour que le plan osculateur du fil coupe le cône sous un angle constant.
Il suffit, pour résoudie cette question, de recourir à la formule
/•ta ni; A
Ri := Sin a • r r^
sin=\
qui fournit le rayon de première courbure Rj d'une ligne quelconque tracée sur le cène, et dont le plan osculateur coupe la surface sous l'angle a. On en dédviit, en eflet,
R, rtangA
r = = tang a • . ■>
" ces « sin-V
dont la comparaison avec la formvile (2'),
'S conduit à la loi cherchée
Les hélices coniques seront d'ailleurs comprises dans les courbes funiculaires répondant à la question.
3). De la chaînette sur un cône de révolution dont V axe est vertical., dans le cas ordinaire de la pesanteur. Regardant G sin y comme une constante dans la formule (2');, rem-
24^- SECOMIK l'Ar.TlE. CHAPITRE OKZIKME.
1 riir . , p
plaçant /'., par r- et siii \ par -■> on trouve successive-
i - > r fip r ,.
ment ces é({iialions de la cliaincttc liansfonnée :
Si l'on remplace dans celte dernière ]) par /•sin\ , et sin V
par 1 / I — ( y. ! ' '^ vient
pour équation ditiércntielie, entre les cooidonnées rel s. de la courbe cherchée.
l. équation [z] rciîtie dans la formule (33), page 169, que Robiîlier déduit, par une première intégration, d'uue équation du second ordre entre les mêmes variables [De la chainelte sur une surface courbe. Annales rie Gergonne, 1829. pages
Si Fou suppose nulle la constante C, l'équation (s) devient
/».;•= C, ou /-sinV = C:
et si, pour plus de facilité dans l'intégration, on substitue à la recherche de la courbe celle de sa réciproque,
on constate aisément que cette dernière est une lemniscate de Bernoulli ; la couibe primitive étant dès lors une hyperbole équildlèra.
149. La tj'ansformaiion des courbes funiculaires reposant sur une surface déveioppable quelconque en des courbes funiculaires planes, par le développement de la surface, peut être établie, d'une manière générale, par des considérations entièrement semblables à celles que nous avons déjà employées pour les surfaces coniques et cylindriques. ( T^oir aussi le chapitre précédent, n" i 19, page 194.)
COVRBES FtJNlCUl.AlRES •^PHÉRIOUES. 7./^'^
Des combes Juniculaires sphériqiies .
îoO. Si Ion suppose la force extérieure dirigée, en chaque point du fil, dans le plan déterminé par ce point et par un diamètre fixe A A' de la sphère, qui pourra être regardé comme vertical-, la composante Gsiny de cette force suivant le plan tangent sera dirigée suivant la tangente à l'arc de grand cercle Km qui joint le pôle A au poiilt m du fil, et V désignera, dans les formules générales de la page 25^, l'in- <'linaison«de lare Am sur la courbe funiculaire.
D'ailleurs, le rayon de courbure géodésique de la courbe funiculaii^e sera donné par la formule
.ds sinp.^/p
° c'g cl.sinp
en se conformant à l'observation de la page 43, et en admettant qu'en chaque point de la courbe funiculaire la courbe elle-même et le centre ries forces A sont situés de part et d'autre du grand cercle tangent à la courbe en ce point. Ou déduit, de la formule précédente,
ds d.sinp
do sin 0
D'ailleurs on a toujours, eu grandeur et en signe,
Il en résulte
ds I
/■/p cos V
1 <-/ . sin /> Cg d . sin p d. smp
°~cosV sino tang V sinVsinp smp
— I — ? — = — L.siii/>i:
et la substitution de cette dernièie valeur, dans la formule (I)
244 SECONDE PAllxTr. CHAPfTRE OINZlÈArf.
de la paj^e 227, nous donne d aboi'd
sin/»
Si l'on intioduil ensuite celle valeur de la tension dans les formules (FI) et (JII) de la même page, elles deviennent
(ir) G siny ./v.sinyj sin V =r C,
(Iir) N = T — Gcos7 = -^^^ Gcosv:
sm p
le rayon de la sphère étant pris pour unité. Ces formules sont^ pour la sphère, ce que sont pour le jdan les formules [a') et [b'\ de la page 233, relatives aux courbes funiculaires sollicitées par des forces concourantes.
loi. Etant donnée l'équation de la courbe funiculaire f[rj^ (|>) =: G, on trouve aisément peur la tension du fil, et pour la (;omposante tangentielle R de la force extérieure, composante dirigée en chaque point suivant la tangente au grand cercle qui aboutit au pôle, ou centre des forces A. les expressions suivantes :
