C- I I tanif p

La première, en effet, n'est autre chose que la traduction, sous forme différentielle, de li uière résulte de la formuh

forme différentielle, de l'équation (F), T = - — : et la der

r/T ^/T = — R cos y .(Is~K do, ou R = -— .

152. Si l'on suppose les forces extérieures parallèles à la dii'cction du diamètre vertical A'A. on devra remplacer y par

COURBES FUJNICI LAIKES SPHÉUIQUES. j/jj

T. — p dans les t'orinules piécédeiiles, et l'on aura

(I") T = -iL,

sin p

(H") G./y.sin-/> = C,

ail") Nz=: -^ +CVcosr..

sin fj

153. Oji déduirait aisément, de ces formules, soit la loi des forces parallèles capables de pi'oduiie l'équilibie d'un til suivant une courbe sphérique de nalure donnée, telle qu'un petit cercle horizontal ou quelconque, une loxodromie, clc. 5 soit l'équation différentielle de la courbe d'équilibre d'un fil sollicité par des forces parallèles données. La marche à suivre est identique à celle que nous avons employée dans l'étude du mouvement sphérique d'un point matériel 5 elle conduit à des résultats analogues, et, pour cette raison, nous nous dispenserons de l'indiquer davantage.

Cherchons cependant, afin de donner au moins inie application de nos formules, l'équation de la chaînette sphérique dans le cas ordinaire de la pesanteur. L'équation (H"), dans laquelle, en faisant abstraction de la constante G = ^, on

, sinp.r/-

rempiacera r„ par '

d.i,\np

— sm p . dp = C -^ —

ros p 4- C = ^ •)

sm p

[x) s'inp (cos p +- C ) = sin V sin p (eus p 4- C' ) = — C.

On a, d'ailleurs,

cosV =^, as

OU bien, en posant

dû I dz

CCS p = s, d ou —- — —

ds \Ji — z- ds

Substituant cette valeur dans (x) et résolvant par rapport à r/.v, il vient

pour équation différentielle de la courbe cherchée. Elle ne peut être intégrée que dans le cas particulier où C'= o, et c'est aussi le seul cas examiné par Bobillier dans le Mémoire cité ; car il parvient seulement, pour le cas général, à l'équation différentielle du second ordre (formule <\i, page 278 )

^d'z [dzY ^^ + ^)^+U) +^(- + A) = ,;

et Ion retrouve aisément celte dernière par la différentiatiou de l'équation [x] qui en est, par conséquent, l'intégrale.

Nous ajouterons qu'on aurait pu obtenir directement l'équation (x'), sans aucune intégration, en égalant la valeur de la

tension qui résulte de notre formule, T = -^ — -, à l'expression ^ sin/7 ^

ordinaire qui se léduit, dans le cas actuel, à celle-ci :

T = z -h C = ces p -t- C.

Io4. La comparaison des formules (!) et (11') du paragraphe actuel, aux formules de même nom de la page 197, relatives au mouvement sphérique d'un point matériel :

Rqiiililjre. < sin/y

( Gsin7./„ sinV .sin/? = C,

- d'où G = G'.C.siii/^

Mouvfciiionl. < sin/7

( G' sin 7 . i-g sin V . sin-/^ = C-,

conduit à ce résullal général ;

ÉQUILIBRE EX MOLVEMKIST : AJNALOGltS. 24J

La force extérieiwc ^ capable de produire Vccjidldyre d'un fil suivant une courbe sphérique donnée^ esl égale ii la force analogue capable d'entretenir le mouvement d'un mobile suivant la même courbe, nndtipliée en chaque point par un nombre constant et par le sinus de la dislance sphérique du centre des forces A à Varc de grand cercle tangent (i la courbe en ce point; déplus, la. vitesse du mobile et la tension dufd, considérées en un même })oint delà courbe, sont dans un rappo/t constant : les forces extérieures, qid produisent le mouvement ou V équilibre^ étant d'ailleurs directement opposées, et rencontrant constamment le diamètre A'A de la spbère qui aboutit au centre des l'orces.

155. On pourrait pai\enir à des conséquences semblables pour une svirface de révokition quelconque : mais tous ces résultats partiels ne sont cjue les expiessions particularisées (l'un même théorème général, que nous allons exposer, et par lequel nous terminerons.