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Des analogies que présentent le mouvement dun point matériel^ et l'équilibre d'un (il ^ suivant une même courbe donnée.

156. Les analogies dont nous allons nous occuper sont évidemment susceptibles d'une inlînité d'interpréiations : puisque, une courbe étant donnée, ainsi que les forces cjui produisent le mouvement dun point (ou l'équilibre d'un iil) suivant celle courbe, on pouira faire varier d'une infinité de manières les forces capables de produire l'équilibre d'un fil (ou le mouvement d'un point) suivant la même courbe.

Maclaurin paiait s'en être occupé le premier {'Dru té des Fluxions, t. Il, n" 563, 4"-, et n''' 566-569) : mais il s'exprime sur celle matière avec uneconcisionqum'esl pas sans obscunlé, au moins dans la tiaduction ; car nous n avons pas su dislinguer s il a considéré^ en même temps que la courbe d équilibre

da lil, le inouvenient libre d'un point matériel sur la même courbe, ou bien le mouvement d'un point obligé de parcourir cette courbe regardée comme solidifiée : on reconnaît cependant c|u'il suppose parallèles et de sens contraires les forces qui produisent le mouvement et celles qui maintiennent l'équilibre; et c'est précisément l'hypothèse que nous adopterons.

Dans un JMémoire déjà cité {^Journal de Mathématiques , t. IX, p. 232), M. O. Bonnet est parvenu à ce théorème : Si une courbe plane (luelconque est la figure d^ équilibre d une chaîne dont chaque élément est soumis à la force R, la même courbe sera la trajectoire d\tn mobile sollicité par une force que l'on déduit de R en prenant en sens inverse ses composantes tangenlielle et normale à la courbe^ et doublant la composante norm/de, ou réduisant à moitié la composante tangentielle

On peut parvenii' à une autre expiession , simple et intuitive, de ces analogies^ par l'emploi des formules qui ont été établies précédemment ( l'o/V page 186 et page 22^).

lo7. Concevons, eu ellet , (ju une courbe Iracéi» sur une surface cpielccnqiu^ représente à la fois la figure d'équilibre d'un fil et la trajectoire d'un point matériel , sollicités en chaque point de la courbe considérée par des forces extérieures directement opposées, G et G', dont les directions sont définies par les angles supplémentaires \ et ^ ', y et y' \ on aura les éc[nations suivantes {voir les pages 227 et 186) :

Équilibre. (i) T = C.^ J i^ngN ^ ^^ G siny . r^.sin V 1= T;

Mouvement. [i') i> =:C' .c^ '*"" , 12') Csiny'. r. .sinV'= r'.

On conclut d'abord, des formules (ij et (l'j, et en supposant égales les constantes C et C', que la tension et la vitesse en chaque point de la coui^be sont mesurées par un même nombre; cai' l'angle c. est pris en valeur absolue dans les deux formules,

ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT : AAALOGIES. 24g

tandis, que tangV et tang \' y sont égales et aiïectées de signes

contraires

On déduit ensuite, de la comparaison des formules (2) et (2'), la proportion

que l'on peut écrire, d'après la relation (A), (B) 0 = -^,

et il résulte de ces formules ce théorème général :

Une courbe, tracée sur wie surface quelconque, étant considérée comme représentant à la fois la trajectoire d'un point matériel et la figure d'équilibre d'un fil, soumis V un et l'autre aux réactions normales de la surface^ et sollicités en outre, en chaque point de la courbe, par des forces extérieures directement opposées :

1°. Si la vitesse initiale du mobile est égale à la tension correspondante du fil, la même égalité subsistera, en chaque point de la courbe, entre les nombres mesurant la tension du fil et la vitesse du mobile ;

2°. En chaque point de la courbe, la force extérieure G', qui entretient le mouvement, sera égale à la force antdogueO, qui maintient l'équilibre, multipliée par la tension correspondante dujil j ou, inversement, la force maintenant V équilibre sera égale à la force produisant le mouvement , divisée par la vitesse correspondante du mobile.

Nous avons déjà vu, comme conséquence particulière de ce théorème général , que la même courbe qui sert de trajectoire (L un point matériel animé d'une vitesse initiale quelconque et soumis à l'action de la pesanteur, représente encore, après avoir été rabattue dans son propre plan autour d'une corde horizontale, la figure d'équdibre d d/i fil dont chaque élément

20O SECONDE PARTIE. CHAP. OAZE. KQUlLIBItE, ETC.

serait sollicité par une force "verticale^ proportionnelle à la projection horizontale de cet élément. Cette remarque conduit à un rapprochement historique curieux. On sait, en effet, que Galilée, méditant le premier sur la nature delà chaînette, se tr-ompa en croyant voir dans cette couibe une parabole. Et il résulte^ de ce qui précède, c[ue la détermination des lois du mouvement des projectiles contenait implicitement la solution du problème de la chaînette; non, il est vrai, dans l'hypothèse d'une gravité constante, mais au moins dans celle qui donne naissance à la courbe des ponts suspendus.